Theorem hlimuniii 10741

Description: A Hilbert space sequence converges to at most one limit.

Hypotheses

Ref	Expression
hlimuni.1	|- A e. _V
hlimuni.2	|- B e. _V
hlimuni.3	|- F e. _V
hlimunii.3	|- (F ~~>v A /\ F ~~>v B)

Assertion

Ref	Expression
hlimuniii	|- A = B

Proof of Theorem hlimuniii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn2ge 7125	. . . . 5 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
2	1	rgen2a 2160	. . . 4 |- A.y e. NN A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z)
3		hlimunii.3	. . . . . . . . . 10 |- (F ~~>v A /\ F ~~>v B)
4	3	simpli 347	. . . . . . . . 9 |- F ~~>v A
5		hlimuni.3	. . . . . . . . . 10 |- F e. _V
6		hlimuni.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
7	5, 6	hlimveci 10691	. . . . . . . . 9 |- (F ~~>v A -> A e. ~H)
8	4, 7	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- A e. ~H
9	3	simpri 351	. . . . . . . . 9 |- F ~~>v B
10		hlimuni.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. _V
11	5, 10	hlimveci 10691	. . . . . . . . 9 |- (F ~~>v B -> B e. ~H)
12	9, 11	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- B e. ~H
13	8, 12	hvsubcli 10523	. . . . . . 7 |- (A -h B) e. ~H
14	13	normcli 10631	. . . . . 6 |- (normh` (A -h B)) e. RR
15		2re 7163	. . . . . 6 |- 2 e. RR
16		2pos 7173	. . . . . 6 |- 0 < 2
17	14, 15, 16	divgt0i2i 7041	. . . . 5 |- (0 < (normh` (A -h B)) -> 0 < ((normh` (A -h B)) / 2))
18		2ne0 7174	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
19	14, 15, 18	redivcli 6976	. . . . . . 7 |- ((normh` (A -h B)) / 2) e. RR
20	5, 6	hlimconvi 10692	. . . . . . . 8 |- (F ~~>v A -> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)))
21	4, 20	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x))
22		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> (0 < x <-> 0 < ((normh` (A -h B)) / 2)))
23		breq2 3342	. . . . . . . . . . 11 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> ((normh` ((F` z) -h A)) < x <-> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))
24	23	imbi2d 674	. . . . . . . . . 10 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> ((y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x) <-> (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
25	24	rexralbidv 2142	. . . . . . . . 9 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> (E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x) <-> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
26	22, 25	imbi12d 688	. . . . . . . 8 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> ((0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)) <-> (0 < ((normh` (A -h B)) / 2) -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))))
27	26	rcla4v 2376	. . . . . . 7 |- (((normh` (A -h B)) / 2) e. RR -> (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)) -> (0 < ((normh` (A -h B)) / 2) -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))))
28	19, 21, 27	mp2 54	. . . . . 6 |- (0 < ((normh` (A -h B)) / 2) -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))
29	5, 10	hlimconvi 10692	. . . . . . . 8 |- (F ~~>v B -> A.x e. RR (0 < x -> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < x)))
30	9, 29	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- A.x e. RR (0 < x -> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < x))
31		breq2 3342	. . . . . . . . . . 11 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> ((normh` ((F` z) -h B)) < x <-> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))
32	31	imbi2d 674	. . . . . . . . . 10 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> ((w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < x) <-> (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
33	32	rexralbidv 2142	. . . . . . . . 9 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> (E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < x) <-> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
34	22, 33	imbi12d 688	. . . . . . . 8 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> ((0 < x -> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < x)) <-> (0 < ((normh` (A -h B)) / 2) -> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))))
35	34	rcla4v 2376	. . . . . . 7 |- (((normh` (A -h B)) / 2) e. RR -> (A.x e. RR (0 < x -> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < x)) -> (0 < ((normh` (A -h B)) / 2) -> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))))
36	19, 30, 35	mp2 54	. . . . . 6 |- (0 < ((normh` (A -h B)) / 2) -> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))
37	28, 36	jca 310	. . . . 5 |- (0 < ((normh` (A -h B)) / 2) -> (E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
38		r19.26 2219	. . . . . . . . 9 |- (A.z e. NN ((y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) <-> (A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
39		con3 110	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y <_ z /\ w <_ z) -> ((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> (-. ((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) -> -. (y <_ z /\ w <_ z)))
40	14	ltnri 6789	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. (normh` (A -h B)) < (normh` (A -h B))
41	5, 6	hlimseqi 10690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (F ~~>v A -> F:NN-->~H)
42	4, 41	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F:NN-->~H
43	42	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z e. NN -> (F` z) e. ~H)
44		normsub 10643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F` z) e. ~H /\ A e. ~H) -> (normh` ((F` z) -h A)) = (normh` (A -h (F` z))))
45	8, 44	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F` z) e. ~H -> (normh` ((F` z) -h A)) = (normh` (A -h (F` z))))
46	43, 45	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. NN -> (normh` ((F` z) -h A)) = (normh` (A -h (F` z))))
47	46	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. NN -> ((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) <-> (normh` (A -h (F` z))) < ((normh` (A -h B)) / 2)))
48	47	anbi1d 679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. NN -> (((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) <-> ((normh` (A -h (F` z))) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
49		norm3lemt 10652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. ~H /\ B e. ~H) /\ ((F` z) e. ~H /\ (normh` (A -h B)) e. RR)) -> (((normh` (A -h (F` z))) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) -> (normh` (A -h B)) < (normh` (A -h B))))
50	8, 12, 49	mpanl12 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F` z) e. ~H /\ (normh` (A -h B)) e. RR) -> (((normh` (A -h (F` z))) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) -> (normh` (A -h B)) < (normh` (A -h B))))
51	14, 50	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` z) e. ~H -> (((normh` (A -h (F` z))) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) -> (normh` (A -h B)) < (normh` (A -h B))))
52	43, 51	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. NN -> (((normh` (A -h (F` z))) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) -> (normh` (A -h B)) < (normh` (A -h B))))
53	48, 52	sylbid 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> (((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) -> (normh` (A -h B)) < (normh` (A -h B))))
54	40, 53	mtoi 122	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> -. ((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))
55	39, 54	syl5com 63	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> (((y <_ z /\ w <_ z) -> ((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> -. (y <_ z /\ w <_ z)))
56		prth 615	. . . . . . . . . . 11 |- (((y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> ((y <_ z /\ w <_ z) -> ((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
57	55, 56	syl5 20	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> (((y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> -. (y <_ z /\ w <_ z)))
58	57	ralimia 2166	. . . . . . . . 9 |- (A.z e. NN ((y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z))
59	38, 58	sylbir 218	. . . . . . . 8 |- ((A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z))
60	59	reximi 2198	. . . . . . 7 |- (E.w e. NN (A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> E.w e. NN A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z))
61	60	reximi 2198	. . . . . 6 |- (E.y e. NN E.w e. NN (A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> E.y e. NN E.w e. NN A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z))
62		reeanv 2249	. . . . . 6 |- (E.y e. NN E.w e. NN (A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) <-> (E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
63		ralnex 2113	. . . . . . . . . 10 |- (A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z) <-> -. E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
64	63	rexbii 2128	. . . . . . . . 9 |- (E.w e. NN A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z) <-> E.w e. NN -. E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
65		rexnal 2114	. . . . . . . . 9 |- (E.w e. NN -. E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z) <-> -. A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
66	64, 65	bitri 190	. . . . . . . 8 |- (E.w e. NN A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z) <-> -. A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
67	66	rexbii 2128	. . . . . . 7 |- (E.y e. NN E.w e. NN A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z) <-> E.y e. NN -. A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
68		rexnal 2114	. . . . . . 7 |- (E.y e. NN -. A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z) <-> -. A.y e. NN A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
69	67, 68	bitri 190	. . . . . 6 |- (E.y e. NN E.w e. NN A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z) <-> -. A.y e. NN A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
70	61, 62, 69	3imtr3i 235	. . . . 5 |- ((E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> -. A.y e. NN A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
71	17, 37, 70	3syl 24	. . . 4 |- (0 < (normh` (A -h B)) -> -. A.y e. NN A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
72	2, 71	mt2 124	. . 3 |- -. 0 < (normh` (A -h B))
73		normgt0 10627	. . . . 5 |- ((A -h B) e. ~H -> ((A -h B) =/= 0h <-> 0 < (normh` (A -h B))))
74	13, 73	ax-mp 7	. . . 4 |- ((A -h B) =/= 0h <-> 0 < (normh` (A -h B)))
75	74	necon1bbii 2060	. . 3 |- (-. 0 < (normh` (A -h B)) <-> (A -h B) = 0h)
76	72, 75	mpbi 206	. 2 |- (A -h B) = 0h
77	8, 12	hvsubeq0i 10562	. 2 |- ((A -h B) = 0h <-> A = B)
78	76, 77	mpbi 206	1 |- A = B

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  2c2 7145  ~Hchil 10420  0hc0v 10423   -h cmv 10424  normhcno 10426   ~~>v chli 10428

This theorem is referenced by:  hlimunii 10742

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473

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