HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimf Structured version   Unicode version

Theorem hlimf 24793
Description: Function-like behavior of the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimf  |-  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H

Proof of Theorem hlimf
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
2 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
31, 2hhxmet 24730 . . . . . 6  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( *Met `  ~H )
4 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)
54methaus 20228 . . . . . 6  |-  ( (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( *Met `  ~H )  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )  e. 
Haus )
6 lmfun 19118 . . . . . 6  |-  ( (
MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) )  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) ) )
73, 5, 6mp2b 10 . . . . 5  |-  Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )
8 funres 5566 . . . . 5  |-  ( Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  ->  Fun  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) )
97, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  (
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
101, 2, 4hhlm 24754 . . . . 5  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
1110funeqi 5547 . . . 4  |-  ( Fun  ~~>v  <->  Fun  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) )
129, 11mpbir 209 . . 3  |-  Fun  ~~>v
13 funfn 5556 . . 3  |-  ( Fun  ~~>v  <->  ~~>v  Fn  dom  ~~>v  )
1412, 13mpbi 208 . 2  |-  ~~>v  Fn  dom  ~~>v
15 funfvbrb 5926 . . . . 5  |-  ( Fun  ~~>v 
->  ( x  e.  dom  ~~>v  <->  x  ~~>v  (  ~~>v  `  x )
) )
1612, 15ax-mp 5 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  ~~>v  <->  x  ~~>v  ( 
~~>v  `  x ) )
17 fvex 5810 . . . . 5  |-  (  ~~>v  `  x )  e.  _V
1817hlimveci 24745 . . . 4  |-  ( x 
~~>v  (  ~~>v  `  x )  ->  (  ~~>v  `  x )  e.  ~H )
1916, 18sylbi 195 . . 3  |-  ( x  e.  dom  ~~>v  ->  (  ~~>v 
`  x )  e. 
~H )
2019rgen 2899 . 2  |-  A. x  e.  dom  ~~>v  (  ~~>v  `  x
)  e.  ~H
21 ffnfv 5979 . 2  |-  (  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H  <->  (  ~~>v  Fn  dom  ~~>v  /\ 
A. x  e.  dom  ~~>v  (  ~~>v  `  x )  e.  ~H ) )
2214, 20, 21mpbir2an 911 1  |-  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1758   A.wral 2799   <.cop 3992   class class class wbr 4401   dom cdm 4949    |` cres 4951   Fun wfun 5521    Fn wfn 5522   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    ^m cmap 7325   NNcn 10434   *Metcxmt 17927   MetOpencmopn 17932   ~~> tclm 18963   Hauscha 19045   IndMetcims 24122   ~Hchil 24474    +h cva 24475    .h csm 24476   normhcno 24478    ~~>v chli 24482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474  ax-hilex 24554  ax-hfvadd 24555  ax-hvcom 24556  ax-hvass 24557  ax-hv0cl 24558  ax-hvaddid 24559  ax-hfvmul 24560  ax-hvmulid 24561  ax-hvmulass 24562  ax-hvdistr1 24563  ax-hvdistr2 24564  ax-hvmul0 24565  ax-hfi 24634  ax-his1 24637  ax-his2 24638  ax-his3 24639  ax-his4 24640
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-icc 11419  df-seq 11925  df-exp 11984  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-topgen 14502  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-lm 18966  df-haus 19052  df-grpo 23831  df-gid 23832  df-ginv 23833  df-gdiv 23834  df-ablo 23922  df-vc 24077  df-nv 24123  df-va 24126  df-ba 24127  df-sm 24128  df-0v 24129  df-vs 24130  df-nmcv 24131  df-ims 24132  df-hnorm 24523  df-hvsub 24526  df-hlim 24527
This theorem is referenced by:  hlimuni  24794  hhsscms  24833  occllem  24859  occl  24860  chscllem2  25194  chscllem4  25196
  Copyright terms: Public domain W3C validator