HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimf Structured version   Unicode version

Theorem hlimf 26297
Description: Function-like behavior of the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimf  |-  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H

Proof of Theorem hlimf
StepHypRef Expression
1 eqid 2396 . . . . . . 7  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
2 eqid 2396 . . . . . . 7  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
31, 2hhxmet 26234 . . . . . 6  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( *Met `  ~H )
4 eqid 2396 . . . . . . 7  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)
54methaus 21131 . . . . . 6  |-  ( (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( *Met `  ~H )  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )  e. 
Haus )
6 lmfun 19991 . . . . . 6  |-  ( (
MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) )  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) ) )
73, 5, 6mp2b 10 . . . . 5  |-  Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )
8 funres 5552 . . . . 5  |-  ( Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  ->  Fun  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) )
97, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  (
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
101, 2, 4hhlm 26258 . . . . 5  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
1110funeqi 5533 . . . 4  |-  ( Fun  ~~>v  <->  Fun  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) )
129, 11mpbir 209 . . 3  |-  Fun  ~~>v
13 funfn 5542 . . 3  |-  ( Fun  ~~>v  <->  ~~>v  Fn  dom  ~~>v  )
1412, 13mpbi 208 . 2  |-  ~~>v  Fn  dom  ~~>v
15 funfvbrb 5919 . . . . 5  |-  ( Fun  ~~>v 
->  ( x  e.  dom  ~~>v  <->  x  ~~>v  (  ~~>v  `  x )
) )
1612, 15ax-mp 5 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  ~~>v  <->  x  ~~>v  ( 
~~>v  `  x ) )
17 fvex 5801 . . . . 5  |-  (  ~~>v  `  x )  e.  _V
1817hlimveci 26249 . . . 4  |-  ( x 
~~>v  (  ~~>v  `  x )  ->  (  ~~>v  `  x )  e.  ~H )
1916, 18sylbi 195 . . 3  |-  ( x  e.  dom  ~~>v  ->  (  ~~>v 
`  x )  e. 
~H )
2019rgen 2756 . 2  |-  A. x  e.  dom  ~~>v  (  ~~>v  `  x
)  e.  ~H
21 ffnfv 5976 . 2  |-  (  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H  <->  (  ~~>v  Fn  dom  ~~>v  /\ 
A. x  e.  dom  ~~>v  (  ~~>v  `  x )  e.  ~H ) )
2214, 20, 21mpbir2an 918 1  |-  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1836   A.wral 2746   <.cop 3967   class class class wbr 4384   dom cdm 4930    |` cres 4932   Fun wfun 5507    Fn wfn 5508   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6218    ^m cmap 7360   NNcn 10474   *Metcxmt 18539   MetOpencmopn 18544   ~~> tclm 19836   Hauscha 19918   IndMetcims 25626   ~Hchil 25978    +h cva 25979    .h csm 25980   normhcno 25982    ~~>v chli 25986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503  ax-addf 9504  ax-mulf 9505  ax-hilex 26058  ax-hfvadd 26059  ax-hvcom 26060  ax-hvass 26061  ax-hv0cl 26062  ax-hvaddid 26063  ax-hfvmul 26064  ax-hvmulid 26065  ax-hvmulass 26066  ax-hvdistr1 26067  ax-hvdistr2 26068  ax-hvmul0 26069  ax-hfi 26138  ax-his1 26141  ax-his2 26142  ax-his3 26143  ax-his4 26144
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-map 7362  df-pm 7363  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-sup 7838  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-xneg 11261  df-xadd 11262  df-xmul 11263  df-icc 11479  df-seq 12034  df-exp 12093  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-topgen 14874  df-psmet 18547  df-xmet 18548  df-met 18549  df-bl 18550  df-mopn 18551  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510  df-lm 19839  df-haus 19925  df-grpo 25335  df-gid 25336  df-ginv 25337  df-gdiv 25338  df-ablo 25426  df-vc 25581  df-nv 25627  df-va 25630  df-ba 25631  df-sm 25632  df-0v 25633  df-vs 25634  df-nmcv 25635  df-ims 25636  df-hnorm 26027  df-hvsub 26030  df-hlim 26031
This theorem is referenced by:  hlimuni  26298  hhsscms  26337  occllem  26363  occl  26364  chscllem2  26698  chscllem4  26700
  Copyright terms: Public domain W3C validator