HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimcaui Structured version   Unicode version

Theorem hlimcaui 24661
Description: If a sequence in Hilbert space subset converges to a limit, it is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimcaui  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F  e.  Cauchy )

Proof of Theorem hlimcaui
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
2 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
3 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)
41, 2, 3hhlm 24623 . . . . . . 7  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
5 resss 5155 . . . . . . 7  |-  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) 
C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )
64, 5eqsstri 3407 . . . . . 6  |-  ~~>v  C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )
7 dmss 5060 . . . . . 6  |-  (  ~~>v  C_  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
) )  ->  dom  ~~>v  C_ 
dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  ~~>v  C_  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
) )
91, 2hhxmet 24599 . . . . . 6  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( *Met `  ~H )
103lmcau 20845 . . . . . 6  |-  ( (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( *Met `  ~H )  ->  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 
C_  ( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )
119, 10ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 
C_  ( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )
128, 11sstri 3386 . . . 4  |-  dom  ~~>v  C_  ( Cau `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) )
134dmeqi 5062 . . . . . 6  |-  dom  ~~>v  =  dom  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
14 dmres 5152 . . . . . 6  |-  dom  (
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )  =  ( ( ~H  ^m  NN )  i^i  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )
1513, 14eqtri 2463 . . . . 5  |-  dom  ~~>v  =  ( ( ~H  ^m  NN )  i^i  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )
16 inss1 3591 . . . . 5  |-  ( ( ~H  ^m  NN )  i^i  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )  C_  ( ~H  ^m  NN )
1715, 16eqsstri 3407 . . . 4  |-  dom  ~~>v  C_  ( ~H  ^m  NN )
1812, 17ssini 3594 . . 3  |-  dom  ~~>v  C_  (
( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )
191, 2hhcau 24622 . . 3  |-  Cauchy  =  ( ( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )
2018, 19sseqtr4i 3410 . 2  |-  dom  ~~>v  C_  Cauchy
21 relres 5159 . . . 4  |-  Rel  (
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
224releqi 4944 . . . 4  |-  ( Rel  ~~>v  <->  Rel  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) )
2321, 22mpbir 209 . . 3  |-  Rel  ~~>v
2423releldmi 5097 . 2  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F  e.  dom 
~~>v  )
2520, 24sseldi 3375 1  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F  e.  Cauchy )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756    i^i cin 3348    C_ wss 3349   <.cop 3904   class class class wbr 4313   dom cdm 4861    |` cres 4863   Rel wrel 4866   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    ^m cmap 7235   NNcn 10343   *Metcxmt 17823   MetOpencmopn 17828   ~~> tclm 18852   Caucca 20786   IndMetcims 23991   ~Hchil 24343    +h cva 24344    .h csm 24345   normhcno 24347   Cauchyccau 24350    ~~>v chli 24351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383  ax-hilex 24423  ax-hfvadd 24424  ax-hvcom 24425  ax-hvass 24426  ax-hv0cl 24427  ax-hvaddid 24428  ax-hfvmul 24429  ax-hvmulid 24430  ax-hvmulass 24431  ax-hvdistr1 24432  ax-hvdistr2 24433  ax-hvmul0 24434  ax-hfi 24503  ax-his1 24506  ax-his2 24507  ax-his3 24508  ax-his4 24509
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-icc 11328  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-topgen 14403  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-lm 18855  df-haus 18941  df-cau 20789  df-grpo 23700  df-gid 23701  df-ginv 23702  df-gdiv 23703  df-ablo 23791  df-vc 23946  df-nv 23992  df-va 23995  df-ba 23996  df-sm 23997  df-0v 23998  df-vs 23999  df-nmcv 24000  df-ims 24001  df-hnorm 24392  df-hvsub 24395  df-hlim 24396  df-hcau 24397
This theorem is referenced by:  isch3  24666  chscllem2  25063
  Copyright terms: Public domain W3C validator