Theorem hlimcaui 10740

Description: If a sequence in Hilbert space subset converges to a limit, it is a Cauchy sequence.

Hypotheses

Ref	Expression
hlimcau.1	|- A e. _V
hlimcau.2	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
hlimcaui	|- (F ~~>v A -> F e. Cauchy)

Proof of Theorem hlimcaui

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1957	. 2 |- (F = if(F ~~>v A, F, (NN X. {0h})) -> (F e. Cauchy <-> if(F ~~>v A, F, (NN X. {0h})) e. Cauchy))
2		hlimcau.1	. . . 4 |- A e. _V
3		ax-hv0cl 10505	. . . . 5 |- 0h e. ~H
4	3	elisseti 2301	. . . 4 |- 0h e. _V
5	2, 4	ifex 3031	. . 3 |- if(F ~~>v A, A, 0h) e. _V
6		hlimcau.2	. . . 4 |- F e. _V
7		nnex 7116	. . . . 5 |- NN e. _V
8		snex 3492	. . . . 5 |- {0h} e. _V
9	7, 8	xpex 4096	. . . 4 |- (NN X. {0h}) e. _V
10	6, 9	ifex 3031	. . 3 |- if(F ~~>v A, F, (NN X. {0h})) e. _V
11		breq1 3341	. . . 4 |- (F = if(F ~~>v A, F, (NN X. {0h})) -> (F ~~>v A <-> if(F ~~>v A, F, (NN X. {0h})) ~~>v A))
12		breq2 3342	. . . 4 |- (A = if(F ~~>v A, A, 0h) -> (if(F ~~>v A, F, (NN X. {0h})) ~~>v A <-> if(F ~~>v A, F, (NN X. {0h})) ~~>v if(F ~~>v A, A, 0h)))
13		breq1 3341	. . . 4 |- ((NN X. {0h}) = if(F ~~>v A, F, (NN X. {0h})) -> ((NN X. {0h}) ~~>v 0h <-> if(F ~~>v A, F, (NN X. {0h})) ~~>v 0h))
14		breq2 3342	. . . 4 |- (0h = if(F ~~>v A, A, 0h) -> (if(F ~~>v A, F, (NN X. {0h})) ~~>v 0h <-> if(F ~~>v A, F, (NN X. {0h})) ~~>v if(F ~~>v A, A, 0h)))
15		hlim0 10738	. . . 4 |- (NN X. {0h}) ~~>v 0h
16	11, 12, 13, 14, 15	elimhyp2v 3022	. . 3 |- if(F ~~>v A, F, (NN X. {0h})) ~~>v if(F ~~>v A, A, 0h)
17	5, 10, 16	hlimcauii 10739	. 2 |- if(F ~~>v A, F, (NN X. {0h})) e. Cauchy
18	1, 17	dedth 3011	1 |- (F ~~>v A -> F e. Cauchy)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  ifcif 2982  {csn 3044   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  NNcn 6449  ~Hchil 10420  0hc0v 10423  Cauchyccau 10427   ~~>v chli 10428

This theorem is referenced by:  chcmhi 10746

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474

Copyright terms: Public domain