HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlim0 Structured version   Unicode version

Theorem hlim0 24643
Description: The zero sequence in Hilbert space converges to the zero vector. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlim0  |-  ( NN 
X.  { 0h }
)  ~~>v  0h

Proof of Theorem hlim0
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
31, 2hhxmet 24582 . . . 4  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( *Met `  ~H )
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)
54mopntopon 20019 . . . 4  |-  ( (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( *Met `  ~H )  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )  e.  (TopOn `  ~H )
)
63, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)  e.  (TopOn `  ~H )
7 ax-hv0cl 24410 . . 3  |-  0h  e.  ~H
8 1z 10681 . . 3  |-  1  e.  ZZ
9 nnuz 10901 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
109lmconst 18870 . . 3  |-  ( ( ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )  e.  (TopOn `  ~H )  /\  0h  e.  ~H  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  { 0h } ) ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 0h )
116, 7, 8, 10mp3an 1314 . 2  |-  ( NN 
X.  { 0h }
) ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 0h
127fconst6 5605 . . 3  |-  ( NN 
X.  { 0h }
) : NN --> ~H
13 ax-hilex 24406 . . . 4  |-  ~H  e.  _V
14 nnex 10333 . . . 4  |-  NN  e.  _V
1513, 14elmap 7246 . . 3  |-  ( ( NN  X.  { 0h } )  e.  ( ~H  ^m  NN )  <-> 
( NN  X.  { 0h } ) : NN --> ~H )
1612, 15mpbir 209 . 2  |-  ( NN 
X.  { 0h }
)  e.  ( ~H 
^m  NN )
171, 2, 4hhlm 24606 . . . 4  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
1817breqi 4303 . . 3  |-  ( ( NN  X.  { 0h } )  ~~>v  0h  <->  ( NN  X.  { 0h } ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) 0h )
197elexi 2987 . . . 4  |-  0h  e.  _V
2019brres 5122 . . 3  |-  ( ( NN  X.  { 0h } ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) 0h  <->  ( ( NN 
X.  { 0h }
) ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 0h  /\  ( NN 
X.  { 0h }
)  e.  ( ~H 
^m  NN ) ) )
2118, 20bitri 249 . 2  |-  ( ( NN  X.  { 0h } )  ~~>v  0h  <->  ( ( NN  X.  { 0h }
) ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 0h  /\  ( NN 
X.  { 0h }
)  e.  ( ~H 
^m  NN ) ) )
2211, 16, 21mpbir2an 911 1  |-  ( NN 
X.  { 0h }
)  ~~>v  0h
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    e. wcel 1756   {csn 3882   <.cop 3888   class class class wbr 4297    X. cxp 4843    |` cres 4847   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   1c1 9288   NNcn 10327   ZZcz 10651   *Metcxmt 17806   MetOpencmopn 17811  TopOnctopon 18504   ~~> tclm 18835   IndMetcims 23974   ~Hchil 24326    +h cva 24327    .h csm 24328   normhcno 24330   0hc0v 24331    ~~>v chli 24334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367  ax-hilex 24406  ax-hfvadd 24407  ax-hvcom 24408  ax-hvass 24409  ax-hv0cl 24410  ax-hvaddid 24411  ax-hfvmul 24412  ax-hvmulid 24413  ax-hvmulass 24414  ax-hvdistr1 24415  ax-hvdistr2 24416  ax-hvmul0 24417  ax-hfi 24486  ax-his1 24489  ax-his2 24490  ax-his3 24491  ax-his4 24492
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-lm 18838  df-grpo 23683  df-gid 23684  df-ginv 23685  df-gdiv 23686  df-ablo 23774  df-vc 23929  df-nv 23975  df-va 23978  df-ba 23979  df-sm 23980  df-0v 23981  df-vs 23982  df-nmcv 23983  df-ims 23984  df-hnorm 24375  df-hvsub 24378  df-hlim 24379
This theorem is referenced by:  hsn0elch  24656
  Copyright terms: Public domain W3C validator