Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilvsca Structured version   Unicode version

Theorem hlhilvsca 35903
Description: The scalar product for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilvsca.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilvsca.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilvsca.t  |-  .x.  =  ( .s `  L )
hlhilvsca.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilvsca.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
hlhilvsca  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .s
`  U ) )

Proof of Theorem hlhilvsca
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilvsca.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilvsca.u . . . 4  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
3 hlhilvsca.l . . . 4  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
5 eqid 2451 . . . 4  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
6 eqid 2451 . . . 4  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
7 eqid 2451 . . . 4  |-  ( (HGMap `  K ) `  W
)  =  ( (HGMap `  K ) `  W
)
8 eqid 2451 . . . 4  |-  ( ( ( EDRing `  K ) `  W ) sSet  <. (
*r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )
9 hlhilvsca.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  L )
10 eqid 2451 . . . 4  |-  ( (HDMap `  K ) `  W
)  =  ( (HDMap `  K ) `  W
)
11 eqid 2451 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
)  =  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
)
12 hlhilvsca.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hlhilset 35890 . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
1413fveq2d 5795 . 2  |-  ( ph  ->  ( .s `  U
)  =  ( .s
`  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  ( Base `  L
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
15 fvex 5801 . . . 4  |-  ( .s
`  L )  e. 
_V
169, 15eqeltri 2535 . . 3  |-  .x.  e.  _V
17 eqid 2451 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )
1817phlvsca 14427 . . 3  |-  (  .x.  e.  _V  ->  .x.  =  ( .s `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
1916, 18ax-mp 5 . 2  |-  .x.  =  ( .s `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
2014, 19syl6reqr 2511 1  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .s
`  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070    u. cun 3426   {cpr 3979   {ctp 3981   <.cop 3983   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    |-> cmpt2 6194   ndxcnx 14275   sSet csts 14276   Basecbs 14278   +g cplusg 14342   *rcstv 14344  Scalarcsca 14345   .scvsca 14346   .icip 14347   HLchlt 33303   LHypclh 33936   EDRingcedring 34705   DVecHcdvh 35031  HDMapchdma 35746  HGMapchg 35839  HLHilchlh 35888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-plusg 14355  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-hlhil 35889
This theorem is referenced by:  hlhillvec  35907  hlhilphllem  35915
  Copyright terms: Public domain W3C validator