Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilsrnglem Structured version   Unicode version

Theorem hlhilsrnglem 38135
Description: Lemma for hlhilsrng 38136. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhillvec.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhillvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhildrng.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hlhilsrng.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilsrng.s  |-  S  =  (Scalar `  L )
hlhilsrng.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
hlhilsrng.p  |-  .+  =  ( +g  `  S )
hlhilsrng.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
hlhilsrng.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
hlhilsrnglem  |-  ( ph  ->  R  e.  *Ring )

Proof of Theorem hlhilsrnglem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilsrng.l . . 3  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hlhilsrng.s . . 3  |-  S  =  (Scalar `  L )
4 hlhillvec.u . . 3  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
5 hlhildrng.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  U )
6 hlhillvec.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 hlhilsrng.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7hlhilsbase2 38124 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
9 hlhilsrng.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  S )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9hlhilsplus2 38125 . 2  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
11 hlhilsrng.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  S )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 11hlhilsmul2 38126 . 2  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
13 hlhilsrng.g . . 3  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
141, 4, 5, 13, 6hlhilnvl 38132 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( *r `  R ) )
151, 4, 6, 5hlhildrng 38134 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  DivRing )
16 drngring 17539 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
1715, 16syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
186adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
19 simpr 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
201, 2, 3, 7, 13, 18, 19hgmapcl 38071 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( G `  x )  e.  B )
2163ad2ant1 1015 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 simp2 995 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  x  e.  B )
23 simp3 996 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  y  e.  B )
241, 2, 3, 7, 9, 13, 21, 22, 23hgmapadd 38076 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( G `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( G `  x
)  .+  ( G `  y ) ) )
251, 2, 3, 7, 11, 13, 21, 22, 23hgmapmul 38077 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( G `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( G `  y
)  .x.  ( G `  x ) ) )
261, 2, 3, 7, 13, 18, 19hgmapvv 38108 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( G `  ( G `  x ) )  =  x )
278, 10, 12, 14, 17, 20, 24, 25, 26issrngd 17646 1  |-  ( ph  ->  R  e.  *Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836   ` cfv 5513   Basecbs 14657   +g cplusg 14725   .rcmulr 14726  Scalarcsca 14728   Ringcrg 17334   DivRingcdr 17532   *Ringcsr 17629   HLchlt 35527   LHypclh 36160   DVecHcdvh 37257  HGMapchg 38065  HLHilchlh 38114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-riotaBAD 35136
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-ot 3970  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-iin 4263  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-of 6461  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-tpos 6895  df-undef 6942  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-fz 11616  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-starv 14740  df-sca 14741  df-vsca 14742  df-ip 14743  df-0g 14872  df-mre 15016  df-mrc 15017  df-acs 15019  df-preset 15697  df-poset 15715  df-plt 15728  df-lub 15744  df-glb 15745  df-join 15746  df-meet 15747  df-p0 15809  df-p1 15810  df-lat 15816  df-clat 15878  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-mhm 16106  df-submnd 16107  df-grp 16197  df-minusg 16198  df-sbg 16199  df-subg 16338  df-ghm 16405  df-cntz 16495  df-oppg 16521  df-lsm 16796  df-cmn 16940  df-abl 16941  df-mgp 17278  df-ur 17290  df-ring 17336  df-oppr 17408  df-dvdsr 17426  df-unit 17427  df-invr 17457  df-dvr 17468  df-rnghom 17500  df-drng 17534  df-staf 17630  df-srng 17631  df-lmod 17650  df-lss 17715  df-lsp 17754  df-lvec 17885  df-lsatoms 35153  df-lshyp 35154  df-lcv 35196  df-lfl 35235  df-lkr 35263  df-ldual 35301  df-oposet 35353  df-ol 35355  df-oml 35356  df-covers 35443  df-ats 35444  df-atl 35475  df-cvlat 35499  df-hlat 35528  df-llines 35674  df-lplanes 35675  df-lvols 35676  df-lines 35677  df-psubsp 35679  df-pmap 35680  df-padd 35972  df-lhyp 36164  df-laut 36165  df-ldil 36280  df-ltrn 36281  df-trl 36336  df-tgrp 36921  df-tendo 36933  df-edring 36935  df-dveca 37181  df-disoa 37208  df-dvech 37258  df-dib 37318  df-dic 37352  df-dih 37408  df-doch 37527  df-djh 37574  df-lcdual 37766  df-mapd 37804  df-hvmap 37936  df-hdmap1 37973  df-hdmap 37974  df-hgmap 38066  df-hlhil 38115
This theorem is referenced by:  hlhilsrng  38136
  Copyright terms: Public domain W3C validator