Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilslem Structured version   Unicode version

Theorem hlhilslem 38084
Description: Lemma for hlhilsbase2 38088. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilslem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilslem.e  |-  E  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
hlhilslem.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilslem.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hlhilslem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilslem.f  |-  F  = Slot 
N
hlhilslem.1  |-  N  e.  NN
hlhilslem.2  |-  N  <  4
hlhilslem.c  |-  C  =  ( F `  E
)
Assertion
Ref Expression
hlhilslem  |-  ( ph  ->  C  =  ( F `
 R ) )

Proof of Theorem hlhilslem
StepHypRef Expression
1 hlhilslem.c . . 3  |-  C  =  ( F `  E
)
2 hlhilslem.f . . . . 5  |-  F  = Slot 
N
3 hlhilslem.1 . . . . 5  |-  N  e.  NN
42, 3ndxid 14740 . . . 4  |-  F  = Slot  ( F `  ndx )
53nnrei 10540 . . . . . 6  |-  N  e.  RR
6 hlhilslem.2 . . . . . 6  |-  N  <  4
75, 6ltneii 9686 . . . . 5  |-  N  =/=  4
82, 3ndxarg 14739 . . . . . 6  |-  ( F `
 ndx )  =  N
9 starvndx 14842 . . . . . 6  |-  ( *r `  ndx )  =  4
108, 9neeq12i 2743 . . . . 5  |-  ( ( F `  ndx )  =/=  ( *r `  ndx )  <->  N  =/=  4
)
117, 10mpbir 209 . . . 4  |-  ( F `
 ndx )  =/=  ( *r `  ndx )
124, 11setsnid 14763 . . 3  |-  ( F `
 E )  =  ( F `  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. ) )
131, 12eqtri 2483 . 2  |-  C  =  ( F `  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. ) )
14 hlhilslem.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
15 hlhilslem.u . . . . 5  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
16 hlhilslem.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 hlhilslem.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
18 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( (HGMap `  K ) `  W
)  =  ( (HGMap `  K ) `  W
)
19 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. )
2014, 15, 16, 17, 18, 19hlhilsca 38081 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E sSet  <. (
*r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  (Scalar `  U ) )
21 hlhilslem.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  U )
2220, 21syl6eqr 2513 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E sSet  <. (
*r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  R )
2322fveq2d 5852 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. ) )  =  ( F `  R ) )
2413, 23syl5eq 2507 1  |-  ( ph  ->  C  =  ( F `
 R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   <.cop 4022   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    < clt 9617   NNcn 10531   4c4 10583   ndxcnx 14716   sSet csts 14717  Slot cslot 14718   *rcstv 14789  Scalarcsca 14790   HLchlt 35491   LHypclh 36124   EDRingcedring 36895  HGMapchg 38029  HLHilchlh 38078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-plusg 14800  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-hlhil 38079
This theorem is referenced by:  hlhilsbase  38085  hlhilsplus  38086  hlhilsmul  38087
  Copyright terms: Public domain W3C validator