Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilslem Structured version   Unicode version

Theorem hlhilslem 35421
Description: Lemma for hlhilsbase2 35425. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilslem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilslem.e  |-  E  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
hlhilslem.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilslem.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hlhilslem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilslem.f  |-  F  = Slot 
N
hlhilslem.1  |-  N  e.  NN
hlhilslem.2  |-  N  <  4
hlhilslem.c  |-  C  =  ( F `  E
)
Assertion
Ref Expression
hlhilslem  |-  ( ph  ->  C  =  ( F `
 R ) )

Proof of Theorem hlhilslem
StepHypRef Expression
1 hlhilslem.c . . 3  |-  C  =  ( F `  E
)
2 hlhilslem.f . . . . 5  |-  F  = Slot 
N
3 hlhilslem.1 . . . . 5  |-  N  e.  NN
42, 3ndxid 15085 . . . 4  |-  F  = Slot  ( F `  ndx )
53nnrei 10569 . . . . . 6  |-  N  e.  RR
6 hlhilslem.2 . . . . . 6  |-  N  <  4
75, 6ltneii 9698 . . . . 5  |-  N  =/=  4
82, 3ndxarg 15084 . . . . . 6  |-  ( F `
 ndx )  =  N
9 starvndx 15191 . . . . . 6  |-  ( *r `  ndx )  =  4
108, 9neeq12i 2667 . . . . 5  |-  ( ( F `  ndx )  =/=  ( *r `  ndx )  <->  N  =/=  4
)
117, 10mpbir 212 . . . 4  |-  ( F `
 ndx )  =/=  ( *r `  ndx )
124, 11setsnid 15108 . . 3  |-  ( F `
 E )  =  ( F `  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. ) )
131, 12eqtri 2450 . 2  |-  C  =  ( F `  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. ) )
14 hlhilslem.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
15 hlhilslem.u . . . . 5  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
16 hlhilslem.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 hlhilslem.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
18 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( (HGMap `  K ) `  W
)  =  ( (HGMap `  K ) `  W
)
19 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. )
2014, 15, 16, 17, 18, 19hlhilsca 35418 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E sSet  <. (
*r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  (Scalar `  U ) )
21 hlhilslem.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  U )
2220, 21syl6eqr 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E sSet  <. (
*r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  R )
2322fveq2d 5829 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. ) )  =  ( F `  R ) )
2413, 23syl5eq 2474 1  |-  ( ph  ->  C  =  ( F `
 R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   <.cop 3947   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    < clt 9626   NNcn 10560   4c4 10612   ndxcnx 15061   sSet csts 15062  Slot cslot 15063   *rcstv 15135  Scalarcsca 15136   HLchlt 32828   LHypclh 33461   EDRingcedring 34232  HGMapchg 35366  HLHilchlh 35415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-plusg 15146  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-hlhil 35416
This theorem is referenced by:  hlhilsbase  35422  hlhilsplus  35423  hlhilsmul  35424
  Copyright terms: Public domain W3C validator