Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilslem Structured version   Unicode version

Theorem hlhilslem 35682
Description: Lemma for hlhilsbase2 35686. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilslem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilslem.e  |-  E  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
hlhilslem.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilslem.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hlhilslem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilslem.f  |-  F  = Slot 
N
hlhilslem.1  |-  N  e.  NN
hlhilslem.2  |-  N  <  4
hlhilslem.c  |-  C  =  ( F `  E
)
Assertion
Ref Expression
hlhilslem  |-  ( ph  ->  C  =  ( F `
 R ) )

Proof of Theorem hlhilslem
StepHypRef Expression
1 hlhilslem.c . . 3  |-  C  =  ( F `  E
)
2 hlhilslem.f . . . . 5  |-  F  = Slot 
N
3 hlhilslem.1 . . . . 5  |-  N  e.  NN
42, 3ndxid 14216 . . . 4  |-  F  = Slot  ( F `  ndx )
53nnrei 10352 . . . . . 6  |-  N  e.  RR
6 hlhilslem.2 . . . . . 6  |-  N  <  4
75, 6ltneii 9508 . . . . 5  |-  N  =/=  4
82, 3ndxarg 14215 . . . . . 6  |-  ( F `
 ndx )  =  N
9 starvndx 14310 . . . . . 6  |-  ( *r `  ndx )  =  4
108, 9neeq12i 2650 . . . . 5  |-  ( ( F `  ndx )  =/=  ( *r `  ndx )  <->  N  =/=  4
)
117, 10mpbir 209 . . . 4  |-  ( F `
 ndx )  =/=  ( *r `  ndx )
124, 11setsnid 14237 . . 3  |-  ( F `
 E )  =  ( F `  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. ) )
131, 12eqtri 2463 . 2  |-  C  =  ( F `  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. ) )
14 hlhilslem.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
15 hlhilslem.u . . . . 5  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
16 hlhilslem.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 hlhilslem.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
18 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( (HGMap `  K ) `  W
)  =  ( (HGMap `  K ) `  W
)
19 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. )
2014, 15, 16, 17, 18, 19hlhilsca 35679 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E sSet  <. (
*r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  (Scalar `  U ) )
21 hlhilslem.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  U )
2220, 21syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E sSet  <. (
*r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  R )
2322fveq2d 5716 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. ) )  =  ( F `  R ) )
2413, 23syl5eq 2487 1  |-  ( ph  ->  C  =  ( F `
 R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   <.cop 3904   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    < clt 9439   NNcn 10343   4c4 10394   ndxcnx 14192   sSet csts 14193  Slot cslot 14194   *rcstv 14261  Scalarcsca 14262   HLchlt 33091   LHypclh 33724   EDRingcedring 34493  HGMapchg 35627  HLHilchlh 35676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-plusg 14272  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-hlhil 35677
This theorem is referenced by:  hlhilsbase  35683  hlhilsplus  35684  hlhilsmul  35685
  Copyright terms: Public domain W3C validator