Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilsca Structured version   Unicode version

Theorem hlhilsca 38062
Description: The scalar of the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilbase.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilbase.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilbase.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilsca.e  |-  E  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
hlhilsca.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hlhilsca.r  |-  R  =  ( E sSet  <. (
*r `  ndx ) ,  G >. )
Assertion
Ref Expression
hlhilsca  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  U ) )

Proof of Theorem hlhilsca
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilbase.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilbase.u . . . 4  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
3 eqid 2454 . . . 4  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
5 eqid 2454 . . . 4  |-  ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
6 hlhilsca.e . . . 4  |-  E  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
7 hlhilsca.g . . . 4  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
8 hlhilsca.r . . . 4  |-  R  =  ( E sSet  <. (
*r `  ndx ) ,  G >. )
9 eqid 2454 . . . 4  |-  ( .s
`  ( ( DVecH `  K ) `  W
) )  =  ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  W ) )
10 eqid 2454 . . . 4  |-  ( (HDMap `  K ) `  W
)  =  ( (HDMap `  K ) `  W
)
11 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
)  =  ( x  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
)
12 hlhilbase.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hlhilset 38061 . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
1413fveq2d 5852 . 2  |-  ( ph  ->  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
15 ovex 6298 . . . 4  |-  ( E sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  G >. )  e.  _V
168, 15eqeltri 2538 . . 3  |-  R  e. 
_V
17 eqid 2454 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )
1817phlsca 14872 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  R  =  (Scalar `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
1916, 18ax-mp 5 . 2  |-  R  =  (Scalar `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
2014, 19syl6reqr 2514 1  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    u. cun 3459   {cpr 4018   {ctp 4020   <.cop 4022   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   ndxcnx 14713   sSet csts 14714   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   *rcstv 14786  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   .icip 14789   HLchlt 35472   LHypclh 36105   EDRingcedring 36876   DVecHcdvh 37202  HDMapchdma 37917  HGMapchg 38010  HLHilchlh 38059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-plusg 14797  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-hlhil 38060
This theorem is referenced by:  hlhilslem  38065  hlhilnvl  38077
  Copyright terms: Public domain W3C validator