Theorem hlhils0 35956

Description: The scalar ring zero for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilsbase.h	|- H = ( LHyp ` K )
hlhilsbase.l	|- L = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hlhilsbase.s	|- S = (Scalar ` L )
hlhilsbase.u	|- U = ( (HLHil ` K ) ` W )
hlhilsbase.r	|- R = (Scalar ` U )
hlhilsbase.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hlhils0.z	|- .0. = ( 0g ` S )

Assertion

Ref	Expression
hlhils0	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` R ) )

Proof of Theorem hlhils0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhils0.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` S )
2		eqidd 2455	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` S ) = ( Base ` S ) )
3		hlhilsbase.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
4		hlhilsbase.l	. . . 4 |- L = ( ( DVecH ` K ) ` W )
5		hlhilsbase.s	. . . 4 |- S = (Scalar ` L )
6		hlhilsbase.u	. . . 4 |- U = ( (HLHil ` K ) ` W )
7		hlhilsbase.r	. . . 4 |- R = (Scalar ` U )
8		hlhilsbase.k	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9		eqid 2454	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	hlhilsbase2 35953	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` S ) = ( Base ` R ) )
11		eqid 2454	. . . . 5 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	hlhilsplus2 35954	. . . 4 |- ( ph -> ( +g ` S ) = ( +g ` R ) )
13	12	proplem3 14752	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) = ( x ( +g ` R ) y ) )
14	2, 10, 13	grpidpropd 15570	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` S ) = ( 0g ` R ) )
15	1, 14	syl5eq 2507	1 |- ( ph -> .0. = ( 0g ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   ` cfv 5529   Basecbs 14296   +g cplusg 14361  Scalarcsca 14364   0gc0g 14501   HLchlt 33358   LHypclh 33991   DVecHcdvh 35086  HLHilchlh 35943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-plusg 14374  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-0g 14503  df-dvech 35087  df-hlhil 35944

This theorem is referenced by:  hlhilocv  35968  hlhilphllem  35970