Theorem hlhils0 34949

Description: The scalar ring zero for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilsbase.h	|- H = ( LHyp ` K )
hlhilsbase.l	|- L = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hlhilsbase.s	|- S = (Scalar ` L )
hlhilsbase.u	|- U = ( (HLHil ` K ) ` W )
hlhilsbase.r	|- R = (Scalar ` U )
hlhilsbase.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hlhils0.z	|- .0. = ( 0g ` S )

Assertion

Ref	Expression
hlhils0	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` R ) )

Proof of Theorem hlhils0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhils0.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` S )
2		eqidd 2403	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` S ) = ( Base ` S ) )
3		hlhilsbase.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
4		hlhilsbase.l	. . . 4 |- L = ( ( DVecH ` K ) ` W )
5		hlhilsbase.s	. . . 4 |- S = (Scalar ` L )
6		hlhilsbase.u	. . . 4 |- U = ( (HLHil ` K ) ` W )
7		hlhilsbase.r	. . . 4 |- R = (Scalar ` U )
8		hlhilsbase.k	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9		eqid 2402	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	hlhilsbase2 34946	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` S ) = ( Base ` R ) )
11		eqid 2402	. . . . 5 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	hlhilsplus2 34947	. . . 4 |- ( ph -> ( +g ` S ) = ( +g ` R ) )
13	12	oveqdr 6258	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) = ( x ( +g ` R ) y ) )
14	2, 10, 13	grpidpropd 16104	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` S ) = ( 0g ` R ) )
15	1, 14	syl5eq 2455	1 |- ( ph -> .0. = ( 0g ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   ` cfv 5525   Basecbs 14733   +g cplusg 14801  Scalarcsca 14804   0gc0g 14946   HLchlt 32349   LHypclh 32982   DVecHcdvh 34079  HLHilchlh 34936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-plusg 14814  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-0g 14948  df-dvech 34080  df-hlhil 34937

This theorem is referenced by:  hlhilocv  34961  hlhilphllem  34963