Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilplus Structured version   Unicode version

Theorem hlhilplus 35924
Description: The vector addition for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilbase.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilbase.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilbase.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilbase.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilplus.a  |-  .+  =  ( +g  `  L )
Assertion
Ref Expression
hlhilplus  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  U ) )

Proof of Theorem hlhilplus
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilbase.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilbase.u . . . 4  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
3 hlhilbase.l . . . 4  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
5 hlhilplus.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  L )
6 eqid 2454 . . . 4  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
7 eqid 2454 . . . 4  |-  ( (HGMap `  K ) `  W
)  =  ( (HGMap `  K ) `  W
)
8 eqid 2454 . . . 4  |-  ( ( ( EDRing `  K ) `  W ) sSet  <. (
*r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )
9 eqid 2454 . . . 4  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
10 eqid 2454 . . . 4  |-  ( (HDMap `  K ) `  W
)  =  ( (HDMap `  K ) `  W
)
11 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
)  =  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
)
12 hlhilbase.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hlhilset 35921 . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
1413fveq2d 5804 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
)  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
15 fvex 5810 . . . 4  |-  ( +g  `  L )  e.  _V
165, 15eqeltri 2538 . . 3  |-  .+  e.  _V
17 eqid 2454 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )
1817phlplusg 14441 . . 3  |-  (  .+  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
1916, 18ax-mp 5 . 2  |-  .+  =  ( +g  `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
2014, 19syl6reqr 2514 1  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    u. cun 3435   {cpr 3988   {ctp 3990   <.cop 3992   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203   ndxcnx 14290   sSet csts 14291   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   *rcstv 14360  Scalarcsca 14361   .scvsca 14362   .icip 14363   HLchlt 33334   LHypclh 33967   EDRingcedring 34736   DVecHcdvh 35062  HDMapchdma 35777  HGMapchg 35870  HLHilchlh 35919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-plusg 14371  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-hlhil 35920
This theorem is referenced by:  hlhillvec  35938  hlhil0  35942  hlhillsm  35943  hlhilphllem  35946
  Copyright terms: Public domain W3C validator