Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilnvl Structured version   Unicode version

Theorem hlhilnvl 36625
Description: The involution operation of the star division ring for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 20-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilnvl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilnvl.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilnvl.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hlhilnvl.i  |-  .*  =  ( (HGMap `  K ) `  W )
hlhilnvl.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
hlhilnvl  |-  ( ph  ->  .*  =  ( *r `  R ) )

Proof of Theorem hlhilnvl
StepHypRef Expression
1 fvex 5867 . . 3  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  e.  _V
2 hlhilnvl.i . . . 4  |-  .*  =  ( (HGMap `  K ) `  W )
3 fvex 5867 . . . 4  |-  ( (HGMap `  K ) `  W
)  e.  _V
42, 3eqeltri 2544 . . 3  |-  .*  e.  _V
5 starvid 14596 . . . 4  |-  *r  = Slot  ( *r `  ndx )
65setsid 14520 . . 3  |-  ( ( ( ( EDRing `  K
) `  W )  e.  _V  /\  .*  e.  _V )  ->  .*  =  ( *r `  ( ( ( EDRing `  K ) `  W
) sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. ) ) )
71, 4, 6mp2an 672 . 2  |-  .*  =  ( *r `  ( ( ( EDRing `  K ) `  W
) sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. ) )
8 hlhilnvl.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 hlhilnvl.u . . . . 5  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
10 hlhilnvl.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
12 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( ( ( EDRing `  K ) `  W ) sSet  <. (
*r `  ndx ) ,  .*  >. )  =  ( ( (
EDRing `  K ) `  W ) sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. )
138, 9, 10, 11, 2, 12hlhilsca 36610 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( EDRing `  K ) `  W
) sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. )  =  (Scalar `  U ) )
14 hlhilnvl.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  U )
1513, 14syl6eqr 2519 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( EDRing `  K ) `  W
) sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. )  =  R )
1615fveq2d 5861 . 2  |-  ( ph  ->  ( *r `  ( ( ( EDRing `  K ) `  W
) sSet  <. ( *r `  ndx ) ,  .*  >. ) )  =  ( *r `  R ) )
177, 16syl5eq 2513 1  |-  ( ph  ->  .*  =  ( *r `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   <.cop 4026   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   ndxcnx 14476   sSet csts 14477   *rcstv 14546  Scalarcsca 14547   HLchlt 34022   LHypclh 34655   EDRingcedring 35424  HGMapchg 36558  HLHilchlh 36607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-hlhil 36608
This theorem is referenced by:  hlhilsrnglem  36628  hlhilphllem  36634
  Copyright terms: Public domain W3C validator