Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhillcs Structured version   Unicode version

Theorem hlhillcs 35603
Description: The closed subspaces of the final constructed Hilbert space. TODO: hlhilbase 35581 is applied over and over to conclusion rather than applied once to antecedent - would compressed proof be shorter if applied once to antecedent? (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillcs.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhillcs.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
hlhillcs.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhillcs.c  |-  C  =  ( CSubSp `  U )
hlhillcs.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
hlhillcs  |-  ( ph  ->  C  =  ran  I
)

Proof of Theorem hlhillcs
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillcs.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
2 fvex 5699 . . . . . . 7  |-  ( (HLHil `  K ) `  W
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2511 . . . . . 6  |-  U  e. 
_V
4 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( ocv `  U )  =  ( ocv `  U )
5 hlhillcs.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( CSubSp `  U )
64, 5iscss 18106 . . . . . 6  |-  ( U  e.  _V  ->  (
x  e.  C  <->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
73, 6mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  <->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) ) )
87biimpa 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) )
9 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
109, 5cssss 18108 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  ->  x  C_  ( Base `  U
) )
11 hlhillcs.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 hlhillcs.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
13 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
14 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
15 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
16 hlhillcs.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1716adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1811, 1, 16, 13, 14hlhilbase 35581 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  =  ( Base `  U
) )
1918sseq2d 3382 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) )  <->  x  C_  ( Base `  U ) ) )
2019biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  x  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
2111, 12, 13, 14, 15, 17, 20dochoccl 35011 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( x  e. 
ran  I  <->  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
22 eqcom 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  <->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  =  x )
2311, 13, 1, 17, 14, 15, 4, 20hlhilocv 35602 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  x
)  =  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )
2423fveq2d 5693 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  =  ( ( ocv `  U ) `
 ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x ) ) )
2511, 13, 14, 15dochssv 34997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )  -> 
( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
2617, 20, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x )  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
2711, 13, 1, 17, 14, 15, 4, 26hlhilocv 35602 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
2824, 27eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  =  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
) )
2928eqeq1d 2449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ( ocv `  U ) `
 ( ( ocv `  U ) `  x
) )  =  x  <-> 
( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x ) )
3022, 29syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  <->  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
3121, 30bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( x  e. 
ran  I  <->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
3210, 31sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  ran  I  <->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) ) )
338, 32mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ran  I )
34 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  e.  ran  I )
3516adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3611, 13, 12, 14dihrnss 34920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
3716, 36sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
3811, 13, 1, 35, 14, 15, 4, 37hlhilocv 35602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  x )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x ) )
3938fveq2d 5693 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  ( ( ocv `  U
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
4035, 37, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ( ocH `  K
) `  W ) `  x )  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
4111, 13, 1, 35, 14, 15, 4, 40hlhilocv 35602 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
4239, 41eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
4342eqeq1d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  x  <->  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
4443biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  I )  /\  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  x )
4544eqcomd 2446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  I )  /\  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x )  ->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) )
4645ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x  ->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
4711, 12, 13, 14, 15, 35, 37dochoccl 35011 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
x  e.  ran  I  <->  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
483, 6mp1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
x  e.  C  <->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
4946, 47, 483imtr4d 268 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
x  e.  ran  I  ->  x  e.  C ) )
5034, 49mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  e.  C )
5133, 50impbida 828 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  <->  x  e.  ran  I ) )
5251eqrdv 2439 1  |-  ( ph  ->  C  =  ran  I
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2970    C_ wss 3326   ran crn 4839   ` cfv 5416   Basecbs 14172   ocvcocv 18083   CSubSpccss 18084   HLchlt 32992   LHypclh 33625   DVecHcdvh 34720   DIsoHcdih 34870   ocHcoch 34989  HLHilchlh 35577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-riotaBAD 32601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-ot 3884  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-tpos 6743  df-undef 6790  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-0g 14378  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-poset 15114  df-plt 15126  df-lub 15142  df-glb 15143  df-join 15144  df-meet 15145  df-p0 15207  df-p1 15208  df-lat 15214  df-clat 15276  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-subg 15676  df-cntz 15833  df-oppg 15859  df-lsm 16133  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-dvr 16773  df-drng 16832  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-lsp 17051  df-lvec 17182  df-ocv 18086  df-css 18087  df-lsatoms 32618  df-lshyp 32619  df-lcv 32661  df-lfl 32700  df-lkr 32728  df-ldual 32766  df-oposet 32818  df-ol 32820  df-oml 32821  df-covers 32908  df-ats 32909  df-atl 32940  df-cvlat 32964  df-hlat 32993  df-llines 33139  df-lplanes 33140  df-lvols 33141  df-lines 33142  df-psubsp 33144  df-pmap 33145  df-padd 33437  df-lhyp 33629  df-laut 33630  df-ldil 33745  df-ltrn 33746  df-trl 33800  df-tgrp 34384  df-tendo 34396  df-edring 34398  df-dveca 34644  df-disoa 34671  df-dvech 34721  df-dib 34781  df-dic 34815  df-dih 34871  df-doch 34990  df-djh 35037  df-lcdual 35229  df-mapd 35267  df-hvmap 35399  df-hdmap1 35436  df-hdmap 35437  df-hlhil 35578
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  35605
  Copyright terms: Public domain W3C validator