Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilipval Structured version   Unicode version

Theorem hlhilipval 35916
Description: Value of inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilip.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilip.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilip.v  |-  V  =  ( Base `  L
)
hlhilip.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hlhilip.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilip.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilip.i  |-  .,  =  ( .i `  U )
hlhilip.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hlhilip.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hlhilipval  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  =  ( ( S `  Y ) `
 X ) )

Proof of Theorem hlhilipval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilip.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilip.l . . . . 5  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hlhilip.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  L
)
4 hlhilip.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
5 hlhilip.u . . . . 5  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
6 hlhilip.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) )  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `
 y ) `  x ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7hlhilip 35915 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) )  =  ( .i `  U ) )
9 hlhilip.i . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  U )
108, 9syl6reqr 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  .,  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) ) )
1110oveqd 6212 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  =  ( X ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) ) Y ) )
12 hlhilip.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
13 hlhilip.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
14 fveq2 5794 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( S `  y
) `  x )  =  ( ( S `
 y ) `  X ) )
15 fveq2 5794 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( S `  y )  =  ( S `  Y ) )
1615fveq1d 5796 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( S `  y
) `  X )  =  ( ( S `
 Y ) `  X ) )
17 fvex 5804 . . . 4  |-  ( ( S `  Y ) `
 X )  e. 
_V
1814, 16, 7, 17ovmpt2 6331 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) ) Y )  =  ( ( S `  Y
) `  X )
)
1912, 13, 18syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) ) Y )  =  ( ( S `  Y
) `  X )
)
2011, 19eqtrd 2493 1  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  =  ( ( S `  Y ) `
 X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    |-> cmpt2 6197   Basecbs 14287   .icip 14357   HLchlt 33314   LHypclh 33947   DVecHcdvh 35042  HDMapchdma 35757  HLHilchlh 35899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-plusg 14365  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-hlhil 35900
This theorem is referenced by:  hlhilocv  35924  hlhilphllem  35926
  Copyright terms: Public domain W3C validator