Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilipval Structured version   Unicode version

Theorem hlhilipval 34952
Description: Value of inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilip.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilip.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilip.v  |-  V  =  ( Base `  L
)
hlhilip.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hlhilip.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilip.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilip.i  |-  .,  =  ( .i `  U )
hlhilip.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hlhilip.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hlhilipval  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  =  ( ( S `  Y ) `
 X ) )

Proof of Theorem hlhilipval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilip.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilip.l . . . . 5  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hlhilip.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  L
)
4 hlhilip.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
5 hlhilip.u . . . . 5  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
6 hlhilip.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) )  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `
 y ) `  x ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7hlhilip 34951 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) )  =  ( .i `  U ) )
9 hlhilip.i . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  U )
108, 9syl6reqr 2462 . . 3  |-  ( ph  ->  .,  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) ) )
1110oveqd 6294 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  =  ( X ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) ) Y ) )
12 hlhilip.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
13 hlhilip.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
14 fveq2 5848 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( S `  y
) `  x )  =  ( ( S `
 y ) `  X ) )
15 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( S `  y )  =  ( S `  Y ) )
1615fveq1d 5850 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( S `  y
) `  X )  =  ( ( S `
 Y ) `  X ) )
17 fvex 5858 . . . 4  |-  ( ( S `  Y ) `
 X )  e. 
_V
1814, 16, 7, 17ovmpt2 6418 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) ) Y )  =  ( ( S `  Y
) `  X )
)
1912, 13, 18syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) ) Y )  =  ( ( S `  Y
) `  X )
)
2011, 19eqtrd 2443 1  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  =  ( ( S `  Y ) `
 X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   Basecbs 14839   .icip 14912   HLchlt 32348   LHypclh 32981   DVecHcdvh 34078  HDMapchdma 34793  HLHilchlh 34935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-hlhil 34936
This theorem is referenced by:  hlhilocv  34960  hlhilphllem  34962
  Copyright terms: Public domain W3C validator