Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilipval Structured version   Unicode version

Theorem hlhilipval 36749
Description: Value of inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilip.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilip.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilip.v  |-  V  =  ( Base `  L
)
hlhilip.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hlhilip.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilip.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilip.i  |-  .,  =  ( .i `  U )
hlhilip.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hlhilip.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hlhilipval  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  =  ( ( S `  Y ) `
 X ) )

Proof of Theorem hlhilipval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilip.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilip.l . . . . 5  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hlhilip.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  L
)
4 hlhilip.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
5 hlhilip.u . . . . 5  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
6 hlhilip.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) )  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `
 y ) `  x ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7hlhilip 36748 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) )  =  ( .i `  U ) )
9 hlhilip.i . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  U )
108, 9syl6reqr 2527 . . 3  |-  ( ph  ->  .,  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) ) )
1110oveqd 6299 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  =  ( X ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) ) Y ) )
12 hlhilip.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
13 hlhilip.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
14 fveq2 5864 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( S `  y
) `  x )  =  ( ( S `
 y ) `  X ) )
15 fveq2 5864 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( S `  y )  =  ( S `  Y ) )
1615fveq1d 5866 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( S `  y
) `  X )  =  ( ( S `
 Y ) `  X ) )
17 fvex 5874 . . . 4  |-  ( ( S `  Y ) `
 X )  e. 
_V
1814, 16, 7, 17ovmpt2 6420 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) ) Y )  =  ( ( S `  Y
) `  X )
)
1912, 13, 18syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) ) Y )  =  ( ( S `  Y
) `  X )
)
2011, 19eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  =  ( ( S `  Y ) `
 X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   Basecbs 14486   .icip 14556   HLchlt 34147   LHypclh 34780   DVecHcdvh 35875  HDMapchdma 36590  HLHilchlh 36732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-hlhil 36733
This theorem is referenced by:  hlhilocv  36757  hlhilphllem  36759
  Copyright terms: Public domain W3C validator