Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilhillem Unicode version

Theorem hlhilhillem 32446
Description: Lemma for hlhil 19297. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilphl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilphllem.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilphl.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilphllem.f  |-  F  =  (Scalar `  U )
hlhilphllem.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilphllem.v  |-  V  =  ( Base `  L
)
hlhilphllem.a  |-  .+  =  ( +g  `  L )
hlhilphllem.s  |-  .x.  =  ( .s `  L )
hlhilphllem.r  |-  R  =  (Scalar `  L )
hlhilphllem.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hlhilphllem.p  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
hlhilphllem.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
hlhilphllem.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
hlhilphllem.z  |-  .0.  =  ( 0g `  L )
hlhilphllem.i  |-  .,  =  ( .i `  U )
hlhilphllem.j  |-  J  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hlhilphllem.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hlhilphllem.e  |-  E  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( J `  y ) `  x
) )
hlhilphllem.o  |-  O  =  ( ocv `  U
)
hlhilphllem.c  |-  C  =  ( CSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
hlhilhillem  |-  ( ph  ->  U  e.  Hil )
Distinct variable groups:    x, y, K    x, U    x, W, y    ph, x    x, J, y    x, V, y    x, C
Allowed substitution hints:    ph( y)    B( x, y)    C( y)    .+ ( x, y)   
.+^ ( x, y)    Q( x, y)    R( x, y)    .x. ( x, y)   
.X. ( x, y)    U( y)    E( x, y)    F( x, y)    G( x, y)    H( x, y)    ., ( x, y)    L( x, y)    O( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem hlhilhillem
StepHypRef Expression
1 hlhilphl.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilphllem.u . . 3  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
3 hlhilphl.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4 hlhilphllem.f . . 3  |-  F  =  (Scalar `  U )
5 hlhilphllem.l . . 3  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 hlhilphllem.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  L
)
7 hlhilphllem.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  L )
8 hlhilphllem.s . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  L )
9 hlhilphllem.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  L )
10 hlhilphllem.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
11 hlhilphllem.p . . 3  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
12 hlhilphllem.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  R )
13 hlhilphllem.q . . 3  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
14 hlhilphllem.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  L )
15 hlhilphllem.i . . 3  |-  .,  =  ( .i `  U )
16 hlhilphllem.j . . 3  |-  J  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
17 hlhilphllem.g . . 3  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
18 hlhilphllem.e . . 3  |-  E  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( J `  y ) `  x
) )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18hlhilphllem 32445 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  PreHil )
203adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
21 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
22 hlhilphllem.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( ocv `  U
)
23 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
24 hlhilphllem.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( CSubSp `  U )
251, 23, 2, 24, 3hlhillcs 32444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  =  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
2625eleq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  <->  x  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) ) )
2726biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
281, 5, 23, 6dihrnss 31761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  x  C_  V
)
293, 28sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  x  C_  V
)
3027, 29syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  C_  V )
311, 5, 2, 20, 6, 21, 22, 30hlhilocv 32443 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( O `  x )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x ) )
3231oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x ( LSSum `  L
) ( O `  x ) )  =  ( x ( LSSum `  L ) ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
33 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( LSSum `  L )  =  (
LSSum `  L )
341, 5, 2, 3, 33hlhillsm 32442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( LSSum `  L )  =  ( LSSum `  U
) )
3534adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( LSSum `  L )  =  ( LSSum `  U )
)
3635oveqd 6057 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x ( LSSum `  L
) ( O `  x ) )  =  ( x ( LSSum `  U ) ( O `
 x ) ) )
37 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  L )  =  (
LSubSp `  L )
383adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
391, 5, 23, 37dihrnlss 31760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  x  e.  ( LSubSp `  L )
)
403, 39sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  x  e.  ( LSubSp `  L )
)
411, 23, 5, 6, 21, 38, 29dochoccl 31852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
)  <->  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
4241biimpd 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
)  ->  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
4342ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )  ->  ( x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )  ->  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x ) ) )
4443pm2.43d 46 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )  ->  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x ) )
4544imp 419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x )
461, 21, 5, 6, 37, 33, 38, 40, 45dochexmid 31951 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( x
( LSSum `  L )
( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  V )
4727, 46syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x ( LSSum `  L
) ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x ) )  =  V )
4832, 36, 473eqtr3d 2444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x ( LSSum `  U
) ( O `  x ) )  =  V )
491, 2, 3, 5, 6hlhilbase 32422 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  U ) )
5049adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  V  =  ( Base `  U
) )
5148, 50eqtrd 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x ( LSSum `  U
) ( O `  x ) )  =  ( Base `  U
) )
5251ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  ( x ( LSSum `  U ) ( O `
 x ) )  =  ( Base `  U
) )
53 eqid 2404 . . 3  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
54 eqid 2404 . . 3  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
5553, 54, 22, 24ishil2 16901 . 2  |-  ( U  e.  Hil  <->  ( U  e.  PreHil  /\  A. x  e.  C  ( x
( LSSum `  U )
( O `  x
) )  =  (
Base `  U )
) )
5619, 52, 55sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  U  e.  Hil )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    C_ wss 3280   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   .icip 13489   0gc0g 13678   LSSumclsm 15223   LSubSpclss 15963   PreHilcphl 16810   ocvcocv 16842   CSubSpccss 16843   Hilchs 16883   HLchlt 29833   LHypclh 30466   DVecHcdvh 31561   DIsoHcdih 31711   ocHcoch 31830  HDMapchdma 32276  HGMapchg 32369  HLHilchlh 32418
This theorem is referenced by:  hlathil  32447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-ip 13502  df-0g 13682  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-lsm 15225  df-pj1 15226  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-staf 15888  df-srng 15889  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lmhm 16053  df-lvec 16130  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-phl 16812  df-ocv 16845  df-css 16846  df-pj 16885  df-hil 16886  df-lsatoms 29459  df-lshyp 29460  df-lcv 29502  df-lfl 29541  df-lkr 29569  df-ldual 29607  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tgrp 31225  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-dveca 31485  df-disoa 31512  df-dvech 31562  df-dib 31622  df-dic 31656  df-dih 31712  df-doch 31831  df-djh 31878  df-lcdual 32070  df-mapd 32108  df-hvmap 32240  df-hdmap1 32277  df-hdmap 32278  df-hgmap 32370  df-hlhil 32419
  Copyright terms: Public domain W3C validator