Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilhillem Structured version   Unicode version

Theorem hlhilhillem 37161
Description: Lemma for hlhil 21726. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilphl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilphllem.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilphl.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilphllem.f  |-  F  =  (Scalar `  U )
hlhilphllem.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilphllem.v  |-  V  =  ( Base `  L
)
hlhilphllem.a  |-  .+  =  ( +g  `  L )
hlhilphllem.s  |-  .x.  =  ( .s `  L )
hlhilphllem.r  |-  R  =  (Scalar `  L )
hlhilphllem.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hlhilphllem.p  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
hlhilphllem.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
hlhilphllem.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
hlhilphllem.z  |-  .0.  =  ( 0g `  L )
hlhilphllem.i  |-  .,  =  ( .i `  U )
hlhilphllem.j  |-  J  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hlhilphllem.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hlhilphllem.e  |-  E  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( J `  y ) `  x
) )
hlhilphllem.o  |-  O  =  ( ocv `  U
)
hlhilphllem.c  |-  C  =  ( CSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
hlhilhillem  |-  ( ph  ->  U  e.  Hil )
Distinct variable groups:    x, y, K    x, U    x, W, y    ph, x    x, J, y    x, V, y    x, C
Allowed substitution hints:    ph( y)    B( x, y)    C( y)    .+ ( x, y)   
.+^ ( x, y)    Q( x, y)    R( x, y)    .x. ( x, y)   
.X. ( x, y)    U( y)    E( x, y)    F( x, y)    G( x, y)    H( x, y)    ., ( x, y)    L( x, y)    O( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem hlhilhillem
StepHypRef Expression
1 hlhilphl.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilphllem.u . . 3  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
3 hlhilphl.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4 hlhilphllem.f . . 3  |-  F  =  (Scalar `  U )
5 hlhilphllem.l . . 3  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 hlhilphllem.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  L
)
7 hlhilphllem.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  L )
8 hlhilphllem.s . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  L )
9 hlhilphllem.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  L )
10 hlhilphllem.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
11 hlhilphllem.p . . 3  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
12 hlhilphllem.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  R )
13 hlhilphllem.q . . 3  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
14 hlhilphllem.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  L )
15 hlhilphllem.i . . 3  |-  .,  =  ( .i `  U )
16 hlhilphllem.j . . 3  |-  J  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
17 hlhilphllem.g . . 3  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
18 hlhilphllem.e . . 3  |-  E  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( J `  y ) `  x
) )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18hlhilphllem 37160 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  PreHil )
203adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
21 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
22 hlhilphllem.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( ocv `  U
)
23 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
24 hlhilphllem.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( CSubSp `  U )
251, 23, 2, 24, 3hlhillcs 37159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  =  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
2625eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  <->  x  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) ) )
2726biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
281, 5, 23, 6dihrnss 36476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  x  C_  V
)
293, 28sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  x  C_  V
)
3027, 29syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  C_  V )
311, 5, 2, 20, 6, 21, 22, 30hlhilocv 37158 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( O `  x )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x ) )
3231oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x ( LSSum `  L
) ( O `  x ) )  =  ( x ( LSSum `  L ) ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
33 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( LSSum `  L )  =  (
LSSum `  L )
341, 5, 2, 3, 33hlhillsm 37157 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( LSSum `  L )  =  ( LSSum `  U
) )
3534adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( LSSum `  L )  =  ( LSSum `  U )
)
3635oveqd 6312 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x ( LSSum `  L
) ( O `  x ) )  =  ( x ( LSSum `  U ) ( O `
 x ) ) )
37 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  L )  =  (
LSubSp `  L )
383adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
391, 5, 23, 37dihrnlss 36475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  x  e.  ( LSubSp `  L )
)
403, 39sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  x  e.  ( LSubSp `  L )
)
411, 23, 5, 6, 21, 38, 29dochoccl 36567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
)  <->  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
4241biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
)  ->  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
4342ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )  ->  ( x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )  ->  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x ) ) )
4443pm2.43d 48 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )  ->  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x ) )
4544imp 429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x )
461, 21, 5, 6, 37, 33, 38, 40, 45dochexmid 36666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( x
( LSSum `  L )
( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  V )
4727, 46syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x ( LSSum `  L
) ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x ) )  =  V )
4832, 36, 473eqtr3d 2516 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x ( LSSum `  U
) ( O `  x ) )  =  V )
491, 2, 3, 5, 6hlhilbase 37137 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  U ) )
5049adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  V  =  ( Base `  U
) )
5148, 50eqtrd 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x ( LSSum `  U
) ( O `  x ) )  =  ( Base `  U
) )
5251ralrimiva 2881 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  ( x ( LSSum `  U ) ( O `
 x ) )  =  ( Base `  U
) )
53 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
54 eqid 2467 . . 3  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
5553, 54, 22, 24ishil2 18619 . 2  |-  ( U  e.  Hil  <->  ( U  e.  PreHil  /\  A. x  e.  C  ( x
( LSSum `  U )
( O `  x
) )  =  (
Base `  U )
) )
5619, 52, 55sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  U  e.  Hil )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817    C_ wss 3481   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   .rcmulr 14573  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   .icip 14577   0gc0g 14712   LSSumclsm 16527   LSubSpclss 17449   PreHilcphl 18528   ocvcocv 18560   CSubSpccss 18561   Hilchs 18601   HLchlt 34548   LHypclh 35181   DVecHcdvh 36276   DIsoHcdih 36426   ocHcoch 36545  HDMapchdma 36991  HGMapchg 37084  HLHilchlh 37133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-riotaBAD 34157
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-undef 7014  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-0g 14714  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-oppg 16253  df-lsm 16529  df-pj1 16530  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-rnghom 17236  df-drng 17269  df-subrg 17298  df-staf 17365  df-srng 17366  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lmhm 17539  df-lvec 17620  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-phl 18530  df-ocv 18563  df-css 18564  df-pj 18603  df-hil 18604  df-lsatoms 34174  df-lshyp 34175  df-lcv 34217  df-lfl 34256  df-lkr 34284  df-ldual 34322  df-oposet 34374  df-ol 34376  df-oml 34377  df-covers 34464  df-ats 34465  df-atl 34496  df-cvlat 34520  df-hlat 34549  df-llines 34695  df-lplanes 34696  df-lvols 34697  df-lines 34698  df-psubsp 34700  df-pmap 34701  df-padd 34993  df-lhyp 35185  df-laut 35186  df-ldil 35301  df-ltrn 35302  df-trl 35356  df-tgrp 35940  df-tendo 35952  df-edring 35954  df-dveca 36200  df-disoa 36227  df-dvech 36277  df-dib 36337  df-dic 36371  df-dih 36427  df-doch 36546  df-djh 36593  df-lcdual 36785  df-mapd 36823  df-hvmap 36955  df-hdmap1 36992  df-hdmap 36993  df-hgmap 37085  df-hlhil 37134
This theorem is referenced by:  hlathil  37162
  Copyright terms: Public domain W3C validator