Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilbase Structured version   Unicode version

Theorem hlhilbase 35947
Description: The base set of the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilbase.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilbase.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilbase.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilbase.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilbase.m  |-  M  =  ( Base `  L
)
Assertion
Ref Expression
hlhilbase  |-  ( ph  ->  M  =  ( Base `  U ) )

Proof of Theorem hlhilbase
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilbase.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilbase.u . . . 4  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
3 hlhilbase.l . . . 4  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 hlhilbase.m . . . 4  |-  M  =  ( Base `  L
)
5 eqid 2454 . . . 4  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
6 eqid 2454 . . . 4  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
7 eqid 2454 . . . 4  |-  ( (HGMap `  K ) `  W
)  =  ( (HGMap `  K ) `  W
)
8 eqid 2454 . . . 4  |-  ( ( ( EDRing `  K ) `  W ) sSet  <. (
*r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )
9 eqid 2454 . . . 4  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
10 eqid 2454 . . . 4  |-  ( (HDMap `  K ) `  W
)  =  ( (HDMap `  K ) `  W
)
11 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K
) `  W ) `  y ) `  x
) )  =  ( x  e.  M , 
y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W
) `  y ) `  x ) )
12 hlhilbase.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hlhilset 35945 . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  M >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
1413fveq2d 5806 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  U
)  =  ( Base `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  M >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
15 fvex 5812 . . . 4  |-  ( Base `  L )  e.  _V
164, 15eqeltri 2538 . . 3  |-  M  e. 
_V
17 eqid 2454 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  M >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  M >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )
1817phlbase 14443 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  M  =  ( Base `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  M >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
1916, 18ax-mp 5 . 2  |-  M  =  ( Base `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  M >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
2014, 19syl6reqr 2514 1  |-  ( ph  ->  M  =  ( Base `  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    u. cun 3437   {cpr 3990   {ctp 3992   <.cop 3994   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   ndxcnx 14293   sSet csts 14294   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   *rcstv 14363  Scalarcsca 14364   .scvsca 14365   .icip 14366   HLchlt 33358   LHypclh 33991   EDRingcedring 34760   DVecHcdvh 35086  HDMapchdma 35801  HGMapchg 35894  HLHilchlh 35943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-plusg 14374  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-hlhil 35944
This theorem is referenced by:  hlhillvec  35962  hlhil0  35966  hlhillsm  35967  hlhilocv  35968  hlhillcs  35969  hlhilphllem  35970  hlhilhillem  35971
  Copyright terms: Public domain W3C validator