Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilbase Structured version   Unicode version

Theorem hlhilbase 34940
Description: The base set of the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilbase.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilbase.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilbase.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilbase.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilbase.m  |-  M  =  ( Base `  L
)
Assertion
Ref Expression
hlhilbase  |-  ( ph  ->  M  =  ( Base `  U ) )

Proof of Theorem hlhilbase
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilbase.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilbase.u . . . 4  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
3 hlhilbase.l . . . 4  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 hlhilbase.m . . . 4  |-  M  =  ( Base `  L
)
5 eqid 2402 . . . 4  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
6 eqid 2402 . . . 4  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
7 eqid 2402 . . . 4  |-  ( (HGMap `  K ) `  W
)  =  ( (HGMap `  K ) `  W
)
8 eqid 2402 . . . 4  |-  ( ( ( EDRing `  K ) `  W ) sSet  <. (
*r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )
9 eqid 2402 . . . 4  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
10 eqid 2402 . . . 4  |-  ( (HDMap `  K ) `  W
)  =  ( (HDMap `  K ) `  W
)
11 eqid 2402 . . . 4  |-  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K
) `  W ) `  y ) `  x
) )  =  ( x  e.  M , 
y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W
) `  y ) `  x ) )
12 hlhilbase.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hlhilset 34938 . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  M >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
1413fveq2d 5809 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  U
)  =  ( Base `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  M >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
15 fvex 5815 . . . 4  |-  ( Base `  L )  e.  _V
164, 15eqeltri 2486 . . 3  |-  M  e. 
_V
17 eqid 2402 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  M >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  M >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )
1817phlbase 14887 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  M  =  ( Base `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  M >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
1916, 18ax-mp 5 . 2  |-  M  =  ( Base `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  M >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( *r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
2014, 19syl6reqr 2462 1  |-  ( ph  ->  M  =  ( Base `  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    u. cun 3411   {cpr 3973   {ctp 3975   <.cop 3977   ` cfv 5525  (class class class)co 6234    |-> cmpt2 6236   ndxcnx 14730   sSet csts 14731   Basecbs 14733   +g cplusg 14801   *rcstv 14803  Scalarcsca 14804   .scvsca 14805   .icip 14806   HLchlt 32349   LHypclh 32982   EDRingcedring 33753   DVecHcdvh 34079  HDMapchdma 34794  HGMapchg 34887  HLHilchlh 34936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-plusg 14814  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-hlhil 34937
This theorem is referenced by:  hlhillvec  34955  hlhil0  34959  hlhillsm  34960  hlhilocv  34961  hlhillcs  34962  hlhilphllem  34963  hlhilhillem  34964
  Copyright terms: Public domain W3C validator