Theorem hlhght2 17038

Description: A Hilbert lattice has a height of at least 2.

Hypotheses

Ref	Expression
hlhght4.b	|- B = (base` K)
hlhght4.s	|- S = (lt` K)
hlhght4.z	|- Z = (0.` K)
hlhght4.u	|- U = (1.` K)

Assertion

Ref	Expression
hlhght2	|- (K e. HL -> E.x e. B (ZSx /\ xSU))

Distinct variable groups:   x,B   x,K

Proof of Theorem hlhght2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhght4.b	. . 3 |- B = (base` K)
2		hlhght4.s	. . 3 |- S = (lt` K)
3		hlhght4.z	. . 3 |- Z = (0.` K)
4		hlhght4.u	. . 3 |- U = (1.` K)
5	1, 2, 3, 4	hlhght4 17037	. 2 |- (K e. HL -> E.y e. B E.x e. B E.z e. B ((ZSy /\ ySx) /\ (xSz /\ zSU)))
6		simplll 452	. . . . . . . 8 |- ((((K e. HL /\ y e. B) /\ x e. B) /\ z e. B) -> K e. HL)
7		hlpos 17027	. . . . . . . 8 |- (K e. HL -> K e. PosetNEW)
8	6, 7	syl 12	. . . . . . 7 |- ((((K e. HL /\ y e. B) /\ x e. B) /\ z e. B) -> K e. PosetNEW)
9		hlop 17025	. . . . . . . 8 |- (K e. HL -> K e. OP)
10	1, 3	op0cl 16914	. . . . . . . 8 |- (K e. OP -> Z e. B)
11	6, 9, 10	3syl 24	. . . . . . 7 |- ((((K e. HL /\ y e. B) /\ x e. B) /\ z e. B) -> Z e. B)
12		simpllr 453	. . . . . . 7 |- ((((K e. HL /\ y e. B) /\ x e. B) /\ z e. B) -> y e. B)
13		simplr 449	. . . . . . 7 |- ((((K e. HL /\ y e. B) /\ x e. B) /\ z e. B) -> x e. B)
14	1, 2	plttr 16790	. . . . . . 7 |- ((K e. PosetNEW /\ (Z e. B /\ y e. B /\ x e. B)) -> ((ZSy /\ ySx) -> ZSx))
15	8, 11, 12, 13, 14	syl13anc 1102	. . . . . 6 |- ((((K e. HL /\ y e. B) /\ x e. B) /\ z e. B) -> ((ZSy /\ ySx) -> ZSx))
16		simpr 350	. . . . . . 7 |- ((((K e. HL /\ y e. B) /\ x e. B) /\ z e. B) -> z e. B)
17	1, 4	op1cl 16915	. . . . . . . 8 |- (K e. OP -> U e. B)
18	6, 9, 17	3syl 24	. . . . . . 7 |- ((((K e. HL /\ y e. B) /\ x e. B) /\ z e. B) -> U e. B)
19	1, 2	plttr 16790	. . . . . . 7 |- ((K e. PosetNEW /\ (x e. B /\ z e. B /\ U e. B)) -> ((xSz /\ zSU) -> xSU))
20	8, 13, 16, 18, 19	syl13anc 1102	. . . . . 6 |- ((((K e. HL /\ y e. B) /\ x e. B) /\ z e. B) -> ((xSz /\ zSU) -> xSU))
21	15, 20	anim12d 617	. . . . 5 |- ((((K e. HL /\ y e. B) /\ x e. B) /\ z e. B) -> (((ZSy /\ ySx) /\ (xSz /\ zSU)) -> (ZSx /\ xSU)))
22	21	r19.23adva 2216	. . . 4 |- (((K e. HL /\ y e. B) /\ x e. B) -> (E.z e. B ((ZSy /\ ySx) /\ (xSz /\ zSU)) -> (ZSx /\ xSU)))
23	22	reximdva 2203	. . 3 |- ((K e. HL /\ y e. B) -> (E.x e. B E.z e. B ((ZSy /\ ySx) /\ (xSz /\ zSU)) -> E.x e. B (ZSx /\ xSU)))
24	23	r19.23adva 2216	. 2 |- (K e. HL -> (E.y e. B E.x e. B E.z e. B ((ZSy /\ ySx) /\ (xSz /\ zSU)) -> E.x e. B (ZSx /\ xSU)))
25	5, 24	mpd 29	1 |- (K e. HL -> E.x e. B (ZSx /\ xSU))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  PosetNEWcpo 16760  ltcplt 16761  0.cp0 16832  1.cp1 16833  OPcops 16837  HLchlt 16983

This theorem is referenced by:  hl0lt1 17039  hl2atom 17053

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-lat 16847  df-oposet 16905  df-ol 16907  df-oml 16908  df-atlat 16986  df-hlat 17017

Copyright terms: Public domain