Theorem hlexch 17034

Description: A Hilbert lattice has the exchange property.

Hypotheses

Ref	Expression
hlsuprexch.b	|- B = (base` K)
hlsuprexch.l	|- L = (le` K)
hlsuprexch.j	|- J = (join` K)
hlsuprexch.a	|- A = (AtomsNEW` K)

Assertion

Ref	Expression
hlexch	|- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A /\ X e. B) /\ -. PLX) -> (PL(XJQ) -> QL(XJP)))

Proof of Theorem hlexch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlsuprexch.b	. . . . . . . 8 |- B = (base` K)
2		hlsuprexch.l	. . . . . . . 8 |- L = (le` K)
3		hlsuprexch.j	. . . . . . . 8 |- J = (join` K)
4		hlsuprexch.a	. . . . . . . 8 |- A = (AtomsNEW` K)
5	1, 2, 3, 4	hlsuprexch 17033	. . . . . . 7 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> ((P =/= Q -> E.z e. A (z =/= P /\ z =/= Q /\ zL(PJQ))) /\ A.z e. B ((-. PLz /\ PL(zJQ)) -> QL(zJP))))
6	5	simprd 352	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> A.z e. B ((-. PLz /\ PL(zJQ)) -> QL(zJP)))
7		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (z = X -> (PLz <-> PLX))
8	7	notbid 673	. . . . . . . . 9 |- (z = X -> (-. PLz <-> -. PLX))
9		opreq1 4889	. . . . . . . . . 10 |- (z = X -> (zJQ) = (XJQ))
10	9	breq2d 3350	. . . . . . . . 9 |- (z = X -> (PL(zJQ) <-> PL(XJQ)))
11	8, 10	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (z = X -> ((-. PLz /\ PL(zJQ)) <-> (-. PLX /\ PL(XJQ))))
12		opreq1 4889	. . . . . . . . 9 |- (z = X -> (zJP) = (XJP))
13	12	breq2d 3350	. . . . . . . 8 |- (z = X -> (QL(zJP) <-> QL(XJP)))
14	11, 13	imbi12d 688	. . . . . . 7 |- (z = X -> (((-. PLz /\ PL(zJQ)) -> QL(zJP)) <-> ((-. PLX /\ PL(XJQ)) -> QL(XJP))))
15	14	rcla4cv 2377	. . . . . 6 |- (A.z e. B ((-. PLz /\ PL(zJQ)) -> QL(zJP)) -> (X e. B -> ((-. PLX /\ PL(XJQ)) -> QL(XJP))))
16	6, 15	syl 12	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> (X e. B -> ((-. PLX /\ PL(XJQ)) -> QL(XJP))))
17	16	3exp 1066	. . . 4 |- (K e. HL -> (P e. A -> (Q e. A -> (X e. B -> ((-. PLX /\ PL(XJQ)) -> QL(XJP))))))
18	17	3impd 1082	. . 3 |- (K e. HL -> ((P e. A /\ Q e. A /\ X e. B) -> ((-. PLX /\ PL(XJQ)) -> QL(XJP))))
19	18	exp4a 409	. 2 |- (K e. HL -> ((P e. A /\ Q e. A /\ X e. B) -> (-. PLX -> (PL(XJQ) -> QL(XJP)))))
20	19	3imp 1061	1 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A /\ X e. B) /\ -. PLX) -> (PL(XJQ) -> QL(XJP)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  lecple 16759  joincjn 16766  AtomsNEWcatm 16981  HLchlt 16983

This theorem is referenced by:  hlexchb 17035  hlexch3 17041  cvr1 17054  cvratlem 17061  ps2 17079

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-opr 4886  df-hlat 17017

Copyright terms: Public domain