MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcom Unicode version

Theorem hlcom 21309
Description: Hilbert space vector addition is commutative. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hladdf.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
hladdf.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
Assertion
Ref Expression
hlcom  |-  ( ( U  e.  CHil OLD  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  =  ( B G A ) )

Proof of Theorem hlcom
StepHypRef Expression
1 hlnv 21300 . 2  |-  ( U  e.  CHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 hladdf.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 hladdf.2 . . 3  |-  G  =  ( +v `  U
)
42, 3nvcom 21007 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  =  ( B G A ) )
51, 4syl3an1 1220 1  |-  ( ( U  e.  CHil OLD  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  =  ( B G A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   NrmCVeccnv 20970   +vcpv 20971   BaseSetcba 20972   CHil
OLDchlo 21294
This theorem is referenced by:  axhvcom-zf  21393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-ablo 20779  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-nmcv 20986  df-cbn 21272  df-hlo 21295
  Copyright terms: Public domain W3C validator