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Theorem hlcgrex 24638
Description: Construct a point on a half-line, at a given distance of its origin. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
ishlg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
ishlg.k  |-  K  =  (hlG `  G )
ishlg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
ishlg.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
ishlg.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
hlln.1  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
hltr.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
hlcgrex.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
hlcgrex.1  |-  ( ph  ->  D  =/=  A )
hlcgrex.2  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
Assertion
Ref Expression
hlcgrex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( x ( K `
 A ) D  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .-    x, A   
x, B    x, C    x, D    x, K    x, I    x, P    ph, x
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem hlcgrex
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 hlcgrex.m . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 ishlg.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
4 hlln.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54ad2antrr 730 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  ->  G  e. TarskiG )
6 simplr 760 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  ->  y  e.  P
)
7 ishlg.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
87ad2antrr 730 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  ->  A  e.  P
)
9 ishlg.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
109ad2antrr 730 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  ->  B  e.  P
)
11 ishlg.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1211ad2antrr 730 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  ->  C  e.  P
)
131, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 12axtgsegcon 24489 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  ->  E. x  e.  P  ( A  e.  (
y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )
145ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
1510ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  B  e.  P )
1612ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  C  e.  P )
17 simplr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  x  e.  P )
188ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  A  e.  P )
19 simprr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C
) )
201, 2, 3, 14, 18, 17, 15, 16, 19tgcgrcoml 24500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  (
x  .-  A )  =  ( B  .-  C ) )
2120eqcomd 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( B  .-  C )  =  ( x  .-  A
) )
22 hlcgrex.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
2322ad4antr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  B  =/=  C )
241, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 23tgcgrneq 24504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  x  =/=  A )
25 hlcgrex.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  =/=  A )
2625ad4antr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  =/=  A )
276ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  y  e.  P )
28 hltr.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
2928ad4antr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  P )
30 simpllr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )
3130simprd 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  A  =/=  y )
3231necomd 2693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  y  =/=  A )
33 simprl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  A  e.  ( y I x ) )
3430simpld 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  A  e.  ( D I y ) )
351, 2, 3, 14, 29, 18, 27, 34tgbtwncom 24509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  A  e.  ( y I D ) )
361, 3, 14, 27, 18, 17, 29, 32, 33, 35tgbtwnconn2 24598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  (
x  e.  ( A I D )  \/  D  e.  ( A I x ) ) )
3724, 26, 363jca 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  (
x  =/=  A  /\  D  =/=  A  /\  (
x  e.  ( A I D )  \/  D  e.  ( A I x ) ) ) )
38 ishlg.k . . . . . . . 8  |-  K  =  (hlG `  G )
391, 3, 38, 17, 29, 18, 14ishlg 24624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  (
x ( K `  A ) D  <->  ( x  =/=  A  /\  D  =/= 
A  /\  ( x  e.  ( A I D )  \/  D  e.  ( A I x ) ) ) ) )
4037, 39mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  x
( K `  A
) D )
4140, 19jca 534 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  (
x ( K `  A ) D  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )
4241ex 435 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y
) )  /\  x  e.  P )  ->  (
( A  e.  ( y I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) )  ->  ( x
( K `  A
) D  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C
) ) ) )
4342reximdva 2898 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  ->  ( E. x  e.  P  ( A  e.  ( y I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( B  .-  C
) )  ->  E. x  e.  P  ( x
( K `  A
) D  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C
) ) ) )
4413, 43mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  P )  /\  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y ) )  ->  E. x  e.  P  ( x ( K `
 A ) D  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )
45 fvex 5883 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  e.  _V
461, 45eqeltri 2504 . . . . 5  |-  P  e. 
_V
4746a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  _V )
4847, 9, 11, 22nehash2 24529 . . 3  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  P
) )
491, 2, 3, 4, 28, 7, 48tgbtwndiff 24527 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  P  ( A  e.  ( D I y )  /\  A  =/=  y
) )
5044, 49r19.29a 2968 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( x ( K `
 A ) D  /\  ( A  .-  x )  =  ( B  .-  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   E.wrex 2774   _Vcvv 3078   class class class wbr 4417   ` cfv 5593  (class class class)co 6297   Basecbs 15099   distcds 15177  TarskiGcstrkg 24455  Itvcitv 24461  hlGchlg 24622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8370  df-cda 8594  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-fz 11779  df-fzo 11910  df-hash 12509  df-word 12647  df-concat 12649  df-s1 12650  df-s2 12925  df-s3 12926  df-trkgc 24473  df-trkgb 24474  df-trkgcb 24475  df-trkg 24478  df-cgrg 24533  df-hlg 24623
This theorem is referenced by:  hlcgreu  24640  trgcopy  24823  cgraswap  24839  cgracom  24841  cgratr  24842  acopy  24851  acopyeu  24852  tgasa1  24866
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