Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcgrex Structured version   Unicode version

Theorem hlcgrex 24638
 Description: Construct a point on a half-line, at a given distance of its origin. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p
ishlg.i Itv
ishlg.k hlG
ishlg.a
ishlg.b
ishlg.c
hlln.1 TarskiG
hltr.d
hlcgrex.m
hlcgrex.1
hlcgrex.2
Assertion
Ref Expression
hlcgrex
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem hlcgrex
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . . 4
2 hlcgrex.m . . . 4
3 ishlg.i . . . 4 Itv
4 hlln.1 . . . . 5 TarskiG
54ad2antrr 730 . . . 4 TarskiG
6 simplr 760 . . . 4
7 ishlg.a . . . . 5
87ad2antrr 730 . . . 4
9 ishlg.b . . . . 5
109ad2antrr 730 . . . 4
11 ishlg.c . . . . 5
1211ad2antrr 730 . . . 4
131, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 12axtgsegcon 24489 . . 3
145ad2antrr 730 . . . . . . . . 9 TarskiG
1510ad2antrr 730 . . . . . . . . 9
1612ad2antrr 730 . . . . . . . . 9
17 simplr 760 . . . . . . . . 9
188ad2antrr 730 . . . . . . . . 9
19 simprr 764 . . . . . . . . . . 11
201, 2, 3, 14, 18, 17, 15, 16, 19tgcgrcoml 24500 . . . . . . . . . 10
2120eqcomd 2428 . . . . . . . . 9
22 hlcgrex.2 . . . . . . . . . 10
2322ad4antr 736 . . . . . . . . 9
241, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 23tgcgrneq 24504 . . . . . . . 8
25 hlcgrex.1 . . . . . . . . 9
2625ad4antr 736 . . . . . . . 8
276ad2antrr 730 . . . . . . . . 9
28 hltr.d . . . . . . . . . 10
2928ad4antr 736 . . . . . . . . 9
30 simpllr 767 . . . . . . . . . . 11
3130simprd 464 . . . . . . . . . 10
3231necomd 2693 . . . . . . . . 9
33 simprl 762 . . . . . . . . 9
3430simpld 460 . . . . . . . . . 10
351, 2, 3, 14, 29, 18, 27, 34tgbtwncom 24509 . . . . . . . . 9
361, 3, 14, 27, 18, 17, 29, 32, 33, 35tgbtwnconn2 24598 . . . . . . . 8
3724, 26, 363jca 1185 . . . . . . 7
38 ishlg.k . . . . . . . 8 hlG
391, 3, 38, 17, 29, 18, 14ishlg 24624 . . . . . . 7
4037, 39mpbird 235 . . . . . 6
4140, 19jca 534 . . . . 5
4241ex 435 . . . 4
4342reximdva 2898 . . 3
4413, 43mpd 15 . 2
45 fvex 5883 . . . . . 6
461, 45eqeltri 2504 . . . . 5
4746a1i 11 . . . 4
4847, 9, 11, 22nehash2 24529 . . 3
491, 2, 3, 4, 28, 7, 48tgbtwndiff 24527 . 2
5044, 49r19.29a 2968 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 369   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1867   wne 2616  wrex 2774  cvv 3078   class class class wbr 4417  cfv 5593  (class class class)co 6297  cbs 15099  cds 15177  TarskiGcstrkg 24455  Itvcitv 24461  hlGchlg 24622 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8370  df-cda 8594  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-fz 11779  df-fzo 11910  df-hash 12509  df-word 12647  df-concat 12649  df-s1 12650  df-s2 12925  df-s3 12926  df-trkgc 24473  df-trkgb 24474  df-trkgcb 24475  df-trkg 24478  df-cgrg 24533  df-hlg 24623 This theorem is referenced by:  hlcgreu  24640  trgcopy  24823  cgraswap  24839  cgracom  24841  cgratr  24842  acopy  24851  acopyeu  24852  tgasa1  24866
 Copyright terms: Public domain W3C validator