Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej2 Structured version   Unicode version

Theorem hlatlej2 32904
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 16300 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatlej.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatlej2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem hlatlej2
StepHypRef Expression
1 hlatlej.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 hlatlej.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 hlatlej.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 3hlatlej1 32903 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  P ) )
543com23 1212 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  P ) )
62, 3hlatjcom 32896 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  =  ( Q 
.\/  P ) )
75, 6breqtrrd 4448 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   lecple 15190   joincjn 16182   Atomscatm 32792   HLchlt 32879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-lub 16213  df-join 16215  df-lat 16285  df-ats 32796  df-atl 32827  df-cvlat 32851  df-hlat 32880
This theorem is referenced by:  2llnne2N  32936  cvrat3  32970  cvrat4  32971  hlatexch3N  33008  hlatexch4  33009  dalem3  33192  dalem25  33226  lnatexN  33307  lncmp  33311  2llnma3r  33316  paddasslem5  33352  dalawlem3  33401  dalawlem6  33404  dalawlem7  33405  dalawlem12  33410  lhp2atne  33562  lhp2at0ne  33564  4atexlemunv  33594  cdlemc2  33721  cdlemc5  33724  cdleme3h  33764  cdleme7  33778  cdleme9  33782  cdleme11c  33790  cdleme11dN  33791  cdleme11j  33796  cdleme16b  33808  cdleme17b  33816  cdleme18a  33820  cdleme18b  33821  cdleme18c  33822  cdleme20yOLD  33832  cdleme19a  33833  cdleme20d  33842  cdleme20j  33848  cdleme21ct  33859  cdleme22a  33870  cdleme22e  33874  cdleme22eALTN  33875  cdleme35b  33980  cdlemg9a  34162  cdlemg12a  34173  cdlemg13a  34181  cdlemg17a  34191  cdlemg17g  34197  cdlemg18c  34210  cdlemg33b0  34231  cdlemg46  34265  cdlemh1  34345  cdlemh  34347  cdlemk4  34364  cdlemki  34371  cdlemksv2  34377  cdlemk12  34380  cdlemk15  34385  cdlemk12u  34402  cdlemkid1  34452  dia2dimlem1  34595  dia2dimlem3  34597  cdlemn10  34737  dihjatcclem1  34949
  Copyright terms: Public domain W3C validator