Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hlatlej2 33012
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 16385 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatlej.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatlej2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem hlatlej2
StepHypRef Expression
1 hlatlej.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 hlatlej.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 hlatlej.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 3hlatlej1 33011 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  P ) )
543com23 1237 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  P ) )
62, 3hlatjcom 33004 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  =  ( Q 
.\/  P ) )
75, 6breqtrrd 4422 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   lecple 15275   joincjn 16267   Atomscatm 32900   HLchlt 32987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-lub 16298  df-join 16300  df-lat 16370  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988
This theorem is referenced by:  2llnne2N  33044  cvrat3  33078  cvrat4  33079  hlatexch3N  33116  hlatexch4  33117  dalem3  33300  dalem25  33334  lnatexN  33415  lncmp  33419  2llnma3r  33424  paddasslem5  33460  dalawlem3  33509  dalawlem6  33512  dalawlem7  33513  dalawlem12  33518  lhp2atne  33670  lhp2at0ne  33672  4atexlemunv  33702  cdlemc2  33829  cdlemc5  33832  cdleme3h  33872  cdleme7  33886  cdleme9  33890  cdleme11c  33898  cdleme11dN  33899  cdleme11j  33904  cdleme16b  33916  cdleme17b  33924  cdleme18a  33928  cdleme18b  33929  cdleme18c  33930  cdleme20yOLD  33940  cdleme19a  33941  cdleme20d  33950  cdleme20j  33956  cdleme21ct  33967  cdleme22a  33978  cdleme22e  33982  cdleme22eALTN  33983  cdleme35b  34088  cdlemg9a  34270  cdlemg12a  34281  cdlemg13a  34289  cdlemg17a  34299  cdlemg17g  34305  cdlemg18c  34318  cdlemg33b0  34339  cdlemg46  34373  cdlemh1  34453  cdlemh  34455  cdlemk4  34472  cdlemki  34479  cdlemksv2  34485  cdlemk12  34488  cdlemk15  34493  cdlemk12u  34510  cdlemkid1  34560  dia2dimlem1  34703  dia2dimlem3  34705  cdlemn10  34845  dihjatcclem1  35057
  Copyright terms: Public domain W3C validator