Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej2 Structured version   Unicode version

Theorem hlatlej2 35513
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 15808 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatlej.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatlej2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem hlatlej2
StepHypRef Expression
1 hlatlej.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 hlatlej.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 hlatlej.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 3hlatlej1 35512 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  P ) )
543com23 1200 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  P ) )
62, 3hlatjcom 35505 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  =  ( Q 
.\/  P ) )
75, 6breqtrrd 4393 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   lecple 14709   joincjn 15690   Atomscatm 35401   HLchlt 35488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-lub 15721  df-join 15723  df-lat 15793  df-ats 35405  df-atl 35436  df-cvlat 35460  df-hlat 35489
This theorem is referenced by:  2llnne2N  35545  cvrat3  35579  cvrat4  35580  hlatexch3N  35617  hlatexch4  35618  dalem3  35801  dalem25  35835  lnatexN  35916  lncmp  35920  2llnma3r  35925  paddasslem5  35961  dalawlem3  36010  dalawlem6  36013  dalawlem7  36014  dalawlem12  36019  lhp2atne  36171  lhp2at0ne  36173  4atexlemunv  36203  cdlemc2  36330  cdlemc5  36333  cdleme3h  36373  cdleme7  36387  cdleme9  36391  cdleme11c  36399  cdleme11dN  36400  cdleme11j  36405  cdleme16b  36417  cdleme17b  36425  cdleme18a  36429  cdleme18b  36430  cdleme18c  36431  cdleme20yOLD  36441  cdleme19a  36442  cdleme20d  36451  cdleme20j  36457  cdleme21ct  36468  cdleme22a  36479  cdleme22e  36483  cdleme22eALTN  36484  cdleme35b  36589  cdlemg9a  36771  cdlemg12a  36782  cdlemg13a  36790  cdlemg17a  36800  cdlemg17g  36806  cdlemg18c  36819  cdlemg33b0  36840  cdlemg46  36874  cdlemh1  36954  cdlemh  36956  cdlemk4  36973  cdlemki  36980  cdlemksv2  36986  cdlemk12  36989  cdlemk15  36994  cdlemk12u  37011  cdlemkid1  37061  dia2dimlem1  37204  dia2dimlem3  37206  cdlemn10  37346  dihjatcclem1  37558
  Copyright terms: Public domain W3C validator