Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej2 Structured version   Unicode version

Theorem hlatlej2 34172
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 15541 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatlej.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatlej2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem hlatlej2
StepHypRef Expression
1 hlatlej.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 hlatlej.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 hlatlej.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 3hlatlej1 34171 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  P ) )
543com23 1202 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  P ) )
62, 3hlatjcom 34164 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  =  ( Q 
.\/  P ) )
75, 6breqtrrd 4473 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   lecple 14555   joincjn 15424   Atomscatm 34060   HLchlt 34147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-lub 15454  df-join 15456  df-lat 15526  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148
This theorem is referenced by:  2llnne2N  34204  cvrat3  34238  cvrat4  34239  hlatexch3N  34276  hlatexch4  34277  dalem3  34460  dalem25  34494  lnatexN  34575  lncmp  34579  2llnma3r  34584  paddasslem5  34620  dalawlem3  34669  dalawlem6  34672  dalawlem7  34673  dalawlem12  34678  lhp2atne  34830  lhp2at0ne  34832  4atexlemunv  34862  cdlemc2  34988  cdlemc5  34991  cdleme3h  35031  cdleme7  35045  cdleme9  35049  cdleme11c  35057  cdleme11dN  35058  cdleme11j  35063  cdleme16b  35075  cdleme17b  35083  cdleme18a  35087  cdleme18b  35088  cdleme18c  35089  cdleme20y  35098  cdleme19a  35099  cdleme20d  35108  cdleme20j  35114  cdleme21ct  35125  cdleme22a  35136  cdleme22e  35140  cdleme22eALTN  35141  cdleme35b  35246  cdlemg9a  35428  cdlemg12a  35439  cdlemg13a  35447  cdlemg17a  35457  cdlemg17g  35463  cdlemg18c  35476  cdlemg33b0  35497  cdlemg46  35531  cdlemh1  35611  cdlemh  35613  cdlemk4  35630  cdlemki  35637  cdlemksv2  35643  cdlemk12  35646  cdlemk15  35651  cdlemk12u  35668  cdlemkid1  35718  dia2dimlem1  35861  dia2dimlem3  35863  cdlemn10  36003  dihjatcclem1  36215
  Copyright terms: Public domain W3C validator