Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej1 Structured version   Unicode version

Theorem hlatlej1 34171
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 15543 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatlej.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatlej1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem hlatlej1
StepHypRef Expression
1 hllat 34160 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 hlatlej.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 34086 . 2  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
52, 3atbase 34086 . 2  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
6 hlatlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 hlatlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
82, 6, 7latlej1 15543 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )
91, 4, 5, 8syl3an 1270 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   lecple 14558   joincjn 15427   Latclat 15528   Atomscatm 34060   HLchlt 34147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-lub 15457  df-join 15459  df-lat 15529  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148
This theorem is referenced by:  hlatlej2  34172  cvratlem  34217  cvrat4  34239  ps-2  34274  lplnllnneN  34352  dalem1  34455  lnatexN  34575  lncmp  34579  2atm2atN  34581  2llnma3r  34584  dalawlem3  34669  dalawlem6  34672  dalawlem7  34673  dalawlem12  34678  trlval4  34984  cdlemc5  34991  cdlemc6  34992  cdlemd3  34996  cdleme0cp  35010  cdleme3h  35031  cdleme5  35036  cdleme9  35049  cdleme11c  35057  cdleme15b  35071  cdleme17b  35083  cdleme19a  35099  cdleme20c  35107  cdleme20j  35114  cdleme21c  35123  cdleme22b  35137  cdleme22d  35139  cdleme22e  35140  cdleme22eALTN  35141  cdleme35e  35249  cdleme35f  35250  cdleme42a  35267  cdleme17d2  35291  cdlemeg46req  35325  cdlemg13a  35447  cdlemg17a  35457  cdlemg18b  35475  cdlemg27a  35488  trlcoabs2N  35518  cdlemg42  35525  cdlemk4  35630  cdlemk1u  35655  cdlemk39  35712  dia2dimlem1  35861  dia2dimlem2  35862  dia2dimlem3  35863  cdlemm10N  35915  cdlemn10  36003  dihjatcclem1  36215
  Copyright terms: Public domain W3C validator