Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej1 Structured version   Unicode version

Theorem hlatlej1 32392
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 16014 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatlej.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatlej1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem hlatlej1
StepHypRef Expression
1 hllat 32381 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 hlatlej.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 32307 . 2  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
52, 3atbase 32307 . 2  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
6 hlatlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 hlatlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
82, 6, 7latlej1 16014 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )
91, 4, 5, 8syl3an 1272 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   lecple 14916   joincjn 15897   Latclat 15999   Atomscatm 32281   HLchlt 32368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-lub 15928  df-join 15930  df-lat 16000  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369
This theorem is referenced by:  hlatlej2  32393  cvratlem  32438  cvrat4  32460  ps-2  32495  lplnllnneN  32573  dalem1  32676  lnatexN  32796  lncmp  32800  2atm2atN  32802  2llnma3r  32805  dalawlem3  32890  dalawlem6  32893  dalawlem7  32894  dalawlem12  32899  trlval4  33206  cdlemc5  33213  cdlemc6  33214  cdlemd3  33218  cdleme0cp  33232  cdleme3h  33253  cdleme5  33258  cdleme9  33271  cdleme11c  33279  cdleme15b  33293  cdleme17b  33305  cdleme19a  33322  cdleme20c  33330  cdleme20j  33337  cdleme21c  33346  cdleme22b  33360  cdleme22d  33362  cdleme22e  33363  cdleme22eALTN  33364  cdleme35e  33472  cdleme35f  33473  cdleme42a  33490  cdleme17d2  33514  cdlemeg46req  33548  cdlemg13a  33670  cdlemg17a  33680  cdlemg18b  33698  cdlemg27a  33711  trlcoabs2N  33741  cdlemg42  33748  cdlemk4  33853  cdlemk1u  33878  cdlemk39  33935  dia2dimlem1  34084  dia2dimlem2  34085  dia2dimlem3  34086  cdlemm10N  34138  cdlemn10  34226  dihjatcclem1  34438
  Copyright terms: Public domain W3C validator