Theorem hlatle 17048

Description: The ordering of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (Th. chrelat3 11943 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatle.b	|- B = (base` K)
hlatle.l	|- L = (le` K)
hlatle.a	|- A = (AtomsNEW` K)

Assertion

Ref	Expression
hlatle	|- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XLY <-> A.a e. A (aLX -> aLY)))

Distinct variable groups:   A,a   B,a   K,a   L,a   X,a   Y,a

Proof of Theorem hlatle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlpos 17027	. . . . . . . 8 |- (K e. HL -> K e. PosetNEW)
2	1	3ad2ant1 897	. . . . . . 7 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> K e. PosetNEW)
3	2	adantr 425	. . . . . 6 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) /\ a e. A) -> K e. PosetNEW)
4		hlatle.b	. . . . . . . 8 |- B = (base` K)
5		hlatle.a	. . . . . . . 8 |- A = (AtomsNEW` K)
6	4, 5	atombase 17003	. . . . . . 7 |- (a e. A -> a e. B)
7	6	adantl 424	. . . . . 6 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) /\ a e. A) -> a e. B)
8		simpl2 880	. . . . . 6 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) /\ a e. A) -> X e. B)
9		simpl3 881	. . . . . 6 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) /\ a e. A) -> Y e. B)
10		hlatle.l	. . . . . . 7 |- L = (le` K)
11	4, 10	postrNEW 16777	. . . . . 6 |- ((K e. PosetNEW /\ (a e. B /\ X e. B /\ Y e. B)) -> ((aLX /\ XLY) -> aLY))
12	3, 7, 8, 9, 11	syl13anc 1102	. . . . 5 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) /\ a e. A) -> ((aLX /\ XLY) -> aLY))
13	12	exp3a 405	. . . 4 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) /\ a e. A) -> (aLX -> (XLY -> aLY)))
14	13	com23 36	. . 3 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) /\ a e. A) -> (XLY -> (aLX -> aLY)))
15	14	r19.21adva 2182	. 2 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XLY -> A.a e. A (aLX -> aLY)))
16		ssrab2 2692	. . . . . . . 8 |- {a e. A | aLY} C_ A
17	4, 5	atomssbase 17004	. . . . . . . 8 |- A C_ B
18	16, 17	sstri 2626	. . . . . . 7 |- {a e. A | aLY} C_ B
19		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- (lub` K) = (lub` K)
20	4, 10, 19	lubss 16897	. . . . . . 7 |- ((K e. CLat /\ {a e. A | aLY} C_ B /\ {a e. A | aLX} C_ {a e. A | aLY}) -> ((lub` K)` {a e. A | aLX})L((lub` K)` {a e. A | aLY}))
21	18, 20	mp3an2 1179	. . . . . 6 |- ((K e. CLat /\ {a e. A | aLX} C_ {a e. A | aLY}) -> ((lub` K)` {a e. A | aLX})L((lub` K)` {a e. A | aLY}))
22		hlclat 17022	. . . . . . 7 |- (K e. HL -> K e. CLat)
23	22	3ad2ant1 897	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> K e. CLat)
24	21, 23	sylan 497	. . . . 5 |- (((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) /\ {a e. A | aLX} C_ {a e. A | aLY}) -> ((lub` K)` {a e. A | aLX})L((lub` K)` {a e. A | aLY}))
25	24	ex 402	. . . 4 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ({a e. A | aLX} C_ {a e. A | aLY} -> ((lub` K)` {a e. A | aLX})L((lub` K)` {a e. A | aLY})))
26	4, 10, 19, 5	hlatmstc 17047	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ X e. B) -> ((lub` K)` {a e. A | aLX}) = X)
27	26	3adant3 896	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((lub` K)` {a e. A | aLX}) = X)
28	4, 10, 19, 5	hlatmstc 17047	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ Y e. B) -> ((lub` K)` {a e. A | aLY}) = Y)
29	28	3adant2 895	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((lub` K)` {a e. A | aLY}) = Y)
30	27, 29	breq12d 3351	. . . 4 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> (((lub` K)` {a e. A | aLX})L((lub` K)` {a e. A | aLY}) <-> XLY))
31	25, 30	sylibd 219	. . 3 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ({a e. A | aLX} C_ {a e. A | aLY} -> XLY))
32		ss2rab 2683	. . 3 |- ({a e. A | aLX} C_ {a e. A | aLY} <-> A.a e. A (aLX -> aLY))
33	31, 32	syl5ibr 224	. 2 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> (A.a e. A (aLX -> aLY) -> XLY))
34	15, 33	impbid 574	1 |- ((K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XLY <-> A.a e. A (aLX -> aLY)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {crab 2108   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  lecple 16759  PosetNEWcpo 16760  lubclub 16764  CLatccla 16835  AtomsNEWcatm 16981  HLchlt 16983

This theorem is referenced by:  hlrelat1 17049

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-pge 16792  df-lub 16799  df-glb 16800  df-join 16801  df-meet 16802  df-p0 16841  df-lat 16847  df-clat 16848  df-oposet 16905  df-ol 16907  df-oml 16908  df-covers 16984  df-atoms 16985  df-atlat 16986  df-hlat 17017

Copyright terms: Public domain