Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatjcom Unicode version

Theorem hlatjcom 29850
Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 14443 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatjcom.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatjcom.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatjcom  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )

Proof of Theorem hlatjcom
StepHypRef Expression
1 hllat 29846 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2404 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 hlatjcom.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 29772 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
52, 3atbase 29772 . 2  |-  ( Y  e.  A  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
6 hlatjcom.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
72, 6latjcom 14443 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( Y  .\/  X
) )
81, 4, 5, 7syl3an 1226 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   joincjn 14356   Latclat 14429   Atomscatm 29746   HLchlt 29833
This theorem is referenced by:  hlatj12  29853  hlatjrot  29855  hlatlej2  29858  atbtwnex  29930  3noncolr2  29931  hlatcon2  29934  3dimlem2  29941  3dimlem3  29943  3dimlem3OLDN  29944  3dimlem4  29946  3dimlem4OLDN  29947  ps-1  29959  hlatexch4  29963  lplnribN  30033  4atlem10  30088  4atlem11  30091  dalemswapyz  30138  dalem-cly  30153  dalemswapyzps  30172  dalem24  30179  dalem25  30180  dalem44  30198  2llnma1  30269  2llnma3r  30270  2llnma2rN  30272  llnexchb2  30351  dalawlem4  30356  dalawlem5  30357  dalawlem9  30361  dalawlem11  30363  dalawlem12  30364  dalawlem15  30367  4atexlemex2  30553  4atexlemcnd  30554  ltrncnv  30628  trlcnv  30647  cdlemc6  30678  cdleme7aa  30724  cdleme12  30753  cdleme15a  30756  cdleme15c  30758  cdleme17c  30770  cdlemeda  30780  cdleme20y  30784  cdleme19a  30785  cdleme19e  30789  cdleme20bN  30792  cdleme20g  30797  cdleme20m  30805  cdleme21c  30809  cdleme22f  30828  cdleme22g  30830  cdleme35b  30932  cdleme35f  30936  cdleme37m  30944  cdleme39a  30947  cdleme42h  30964  cdleme43aN  30971  cdleme43bN  30972  cdleme43dN  30974  cdleme46f2g2  30975  cdleme46f2g1  30976  cdlemeg46c  30995  cdlemeg46nlpq  30999  cdlemeg46ngfr  31000  cdlemeg46rgv  31010  cdlemeg46gfv  31012  cdlemg2kq  31084  cdlemg4a  31090  cdlemg4d  31095  cdlemg4  31099  cdlemg8c  31111  cdlemg11aq  31120  cdlemg10a  31122  cdlemg12g  31131  cdlemg12  31132  cdlemg13  31134  cdlemg17pq  31154  cdlemg18b  31161  cdlemg18c  31162  cdlemg19  31166  cdlemg21  31168  cdlemk7  31330  cdlemk7u  31352  cdlemkfid1N  31403  dia2dimlem1  31547  dia2dimlem3  31549  dihjatcclem3  31903  dihjat  31906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-join 14388  df-lat 14430  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834
  Copyright terms: Public domain W3C validator