Theorem hlatjcl 33003

Description: Closure of join operation. Frequently-used special case of latjcl 16375 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcl.b	|- B = ( Base ` K )
hlatjcl.j	|- .\/ = ( join ` K )
hlatjcl.a	|- A = ( Atoms ` K )

Assertion

Ref	Expression
hlatjcl	|- ( ( K e. HL /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( X .\/ Y ) e. B )

Proof of Theorem hlatjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 33000	. 2 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
2		hlatjcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
3		hlatjcl.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
4	2, 3	atbase 32926	. 2 |- ( X e. A -> X e. B )
5	2, 3	atbase 32926	. 2 |- ( Y e. A -> Y e. B )
6		hlatjcl.j	. . 3 |- .\/ = ( join ` K )
7	2, 6	latjcl 16375	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B )
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1334	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( X .\/ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   joincjn 16267   Latclat 16369   Atomscatm 32900   HLchlt 32987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-lat 16370  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988

This theorem is referenced by:  atcvr0eq  33062  2atjm  33081  atbtwn  33082  3dim0  33093  3dimlem3a  33096  3dimlem3OLDN  33098  3dimlem4OLDN  33101  3dim3  33105  2dim  33106  ps-1  33113  hlatexch3N  33116  hlatexch4  33117  ps-2b  33118  3atlem1  33119  3atlem2  33120  llni2  33148  llnle  33154  2at0mat0  33161  2atm  33163  islpln5  33171  lplni2  33173  lplnnle2at  33177  2atnelpln  33180  islpln2a  33184  llncvrlpln2  33193  2atmat  33197  2llnjaN  33202  islvol5  33215  lvoli2  33217  lvolnle3at  33218  3atnelvolN  33222  islvol2aN  33228  4atlem0a  33229  4atlem3  33232  4atlem3a  33233  4atlem3b  33234  4atlem4a  33235  4atlem4b  33236  4atlem4c  33237  4atlem4d  33238  4atlem9  33239  4atlem10a  33240  4atlem10  33242  4atlem11a  33243  4atlem11b  33244  4atlem11  33245  4atlem12a  33246  4atlem12b  33247  4atlem12  33248  4at  33249  4at2  33250  lplncvrlvol2  33251  2lplnja  33255  dalempjqeb  33281  dalemsjteb  33282  dalemtjueb  33283  dalemply  33290  dalem1  33295  dalemcea  33296  dalem3  33300  dalem4  33301  dalem5  33303  dalem-cly  33307  dalem17  33316  dalem21  33330  dalem24  33333  dalem25  33334  dalem27  33335  dalem38  33346  dalem39  33347  dalem43  33351  dalem44  33352  dalem45  33353  dalem55  33363  dalem56  33364  dalem57  33365  2atm2atN  33421  2llnma1b  33422  2llnma3r  33424  llnmod2i2  33499  llnexchb2lem  33504  dalawlem1  33507  dalawlem2  33508  dalawlem3  33509  dalawlem4  33510  dalawlem5  33511  dalawlem6  33512  dalawlem7  33513  dalawlem8  33514  dalawlem9  33515  dalawlem11  33517  dalawlem12  33518  dalawlem15  33521  lhp2lt  33637  lhpexle2lem  33645  lhpexle3lem  33647  lhp2at0  33668  lhp2atnle  33669  lhpat3  33682  4atexlempsb  33696  4atexlemqtb  33697  4atexlemunv  33702  4atexlemtlw  33703  4atexlemc  33705  4atexlemnclw  33706  4atexlemcnd  33708  trlval3  33824  trlval4  33825  cdlemc4  33831  cdlemc5  33832  cdlemc6  33833  cdlemd2  33836  cdleme0e  33854  cdlemeulpq  33857  cdleme01N  33858  cdleme0ex1N  33860  cdleme3g  33871  cdleme3h  33872  cdleme3  33874  cdleme4  33875  cdleme4a  33876  cdleme5  33877  cdleme7aa  33879  cdleme7c  33882  cdleme7d  33883  cdleme7e  33884  cdleme7ga  33885  cdleme7  33886  cdleme9b  33889  cdleme9  33890  cdleme10  33891  cdleme11c  33898  cdleme13  33909  cdleme15b  33912  cdleme15d  33914  cdleme15  33915  cdleme16b  33916  cdleme16e  33919  cdleme16f  33920  cdleme17b  33924  cdleme22gb  33931  cdlemedb  33934  cdlemednpq  33936  cdleme20zN  33938  cdleme20yOLD  33940  cdleme19a  33941  cdleme19c  33943  cdleme20aN  33947  cdleme20c  33949  cdleme20d  33950  cdleme20e  33951  cdleme20j  33956  cdleme20l  33960  cdleme21c  33965  cdleme21ct  33967  cdleme22aa  33977  cdleme22b  33979  cdleme22cN  33980  cdleme22d  33981  cdleme22e  33982  cdleme22eALTN  33983  cdleme22f  33984  cdleme22g  33986  cdleme23a  33987  cdleme23b  33988  cdleme23c  33989  cdleme28a  34008  cdleme35a  34086  cdleme35fnpq  34087  cdleme35b  34088  cdleme35c  34089  cdleme35d  34090  cdleme35e  34091  cdleme35f  34092  cdleme42a  34109  cdleme42c  34110  cdleme42h  34120  cdleme42i  34121  cdlemeg46frv  34163  cdlemeg46vrg  34165  cdlemeg46rgv  34166  cdlemeg46req  34167  cdlemf1  34199  cdlemf2  34200  cdlemg2fv2  34238  cdlemg2m  34242  cdlemg4  34255  cdlemg8b  34266  cdlemg10bALTN  34274  cdlemg10c  34277  cdlemg10  34279  cdlemg12e  34285  cdlemg12f  34286  cdlemg12g  34287  cdlemg12  34288  cdlemg13a  34289  cdlemg17a  34299  cdlemg17dALTN  34302  cdlemg17h  34306  cdlemg17  34315  cdlemg18b  34317  cdlemg19a  34321  cdlemg19  34322  cdlemg27a  34330  cdlemg27b  34334  cdlemg31a  34335  cdlemg31b  34336  cdlemg33b0  34339  cdlemg33a  34344  trlcoabs2N  34360  trlcolem  34364  cdlemg42  34367  cdlemg46  34373  cdlemh1  34453  cdlemk3  34471  cdlemk10  34481  cdlemk12  34488  cdlemkole  34491  cdlemk14  34492  cdlemk15  34493  cdlemk1u  34497  cdlemk5u  34499  cdlemk12u  34510  cdlemk37  34552  cdlemk39  34554  cdlemkid1  34560  cdlemk51  34591  cdlemk52  34592  dia2dimlem1  34703  dia2dimlem2  34704  dia2dimlem3  34705  dia2dimlem10  34712  dia2dimlem12  34714  cdlemm10N  34757  cdlemn2  34834  cdlemn10  34845  dib2dim  34882  dih2dimb  34883  dih2dimbALTN  34884  dihjatcclem1  35057  dihjatcclem2  35058  dihjatcclem4  35060  dvh4dimat  35077