Theorem hlatexch2 33403

Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatexchb.l	|- .<_ = ( le ` K )
hlatexchb.j	|- .\/ = ( join ` K )
hlatexchb.a	|- A = ( Atoms ` K )

Assertion

Ref	Expression
hlatexch2	|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= R ) -> ( P .<_ ( Q .\/ R ) -> Q .<_ ( P .\/ R ) ) )

Proof of Theorem hlatexch2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcvl 33367	. 2 |- ( K e. HL -> K e. CvLat )
2		hlatexchb.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
3		hlatexchb.j	. . 3 |- .\/ = ( join ` K )
4		hlatexchb.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
5	2, 3, 4	cvlatexch2 33345	. 2 |- ( ( K e. CvLat /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= R ) -> ( P .<_ ( Q .\/ R ) -> Q .<_ ( P .\/ R ) ) )
6	1, 5	syl3an1 1252	1 |- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= R ) -> ( P .<_ ( Q .\/ R ) -> Q .<_ ( P .\/ R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   lecple 14368   joincjn 15237   Atomscatm 33271   CvLatclc 33273   HLchlt 33358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-poset 15239  df-plt 15251  df-lub 15267  df-glb 15268  df-join 15269  df-meet 15270  df-p0 15332  df-lat 15339  df-covers 33274  df-ats 33275  df-atl 33306  df-cvlat 33330  df-hlat 33359

This theorem is referenced by:  2llnneN  33416  atexchcvrN  33447  atbtwnex  33455  3dimlem3  33468  3dimlem3OLDN  33469  3dimlem4  33471  3dimlem4OLDN  33472  hlatexch4  33488  3atlem5  33494  dalem27  33706  cdlemblem  33800  paddasslem1  33827  paddasslem6  33832  cdleme3g  34241  cdleme3h  34242  cdleme7d  34253  cdleme11c  34268  cdleme11dN  34269  cdleme36a  34467  cdlemeg46rgv  34535  cdlemk14  34861  dia2dimlem1  35072  dia2dimlem2  35073  dia2dimlem3  35074