Theorem hlatexch2 32961

Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatexchb.l	|- .<_ = ( le ` K )
hlatexchb.j	|- .\/ = ( join ` K )
hlatexchb.a	|- A = ( Atoms ` K )

Assertion

Ref	Expression
hlatexch2	|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= R ) -> ( P .<_ ( Q .\/ R ) -> Q .<_ ( P .\/ R ) ) )

Proof of Theorem hlatexch2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcvl 32925	. 2 |- ( K e. HL -> K e. CvLat )
2		hlatexchb.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
3		hlatexchb.j	. . 3 |- .\/ = ( join ` K )
4		hlatexchb.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
5	2, 3, 4	cvlatexch2 32903	. 2 |- ( ( K e. CvLat /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= R ) -> ( P .<_ ( Q .\/ R ) -> Q .<_ ( P .\/ R ) ) )
6	1, 5	syl3an1 1301	1 |- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= R ) -> ( P .<_ ( Q .\/ R ) -> Q .<_ ( P .\/ R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   lecple 15197   joincjn 16189   Atomscatm 32829   CvLatclc 32831   HLchlt 32916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-lat 16292  df-covers 32832  df-ats 32833  df-atl 32864  df-cvlat 32888  df-hlat 32917

This theorem is referenced by:  2llnneN  32974  atexchcvrN  33005  atbtwnex  33013  3dimlem3  33026  3dimlem3OLDN  33027  3dimlem4  33029  3dimlem4OLDN  33030  hlatexch4  33046  3atlem5  33052  dalem27  33264  cdlemblem  33358  paddasslem1  33385  paddasslem6  33390  cdleme3g  33800  cdleme3h  33801  cdleme7d  33812  cdleme11c  33827  cdleme11dN  33828  cdleme36a  34027  cdlemeg46rgv  34095  cdlemk14  34421  dia2dimlem1  34632  dia2dimlem2  34633  dia2dimlem3  34634