Theorem hlatexch2 34822

Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatexchb.l	|- .<_ = ( le ` K )
hlatexchb.j	|- .\/ = ( join ` K )
hlatexchb.a	|- A = ( Atoms ` K )

Assertion

Ref	Expression
hlatexch2	|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= R ) -> ( P .<_ ( Q .\/ R ) -> Q .<_ ( P .\/ R ) ) )

Proof of Theorem hlatexch2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcvl 34786	. 2 |- ( K e. HL -> K e. CvLat )
2		hlatexchb.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
3		hlatexchb.j	. . 3 |- .\/ = ( join ` K )
4		hlatexchb.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
5	2, 3, 4	cvlatexch2 34764	. 2 |- ( ( K e. CvLat /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= R ) -> ( P .<_ ( Q .\/ R ) -> Q .<_ ( P .\/ R ) ) )
6	1, 5	syl3an1 1260	1 |- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= R ) -> ( P .<_ ( Q .\/ R ) -> Q .<_ ( P .\/ R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 972   = wceq 1381   e. wcel 1802   =/= wne 2636   class class class wbr 4433   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   lecple 14576   joincjn 15442   Atomscatm 34690   CvLatclc 34692   HLchlt 34777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-preset 15426  df-poset 15444  df-plt 15457  df-lub 15473  df-glb 15474  df-join 15475  df-meet 15476  df-p0 15538  df-lat 15545  df-covers 34693  df-ats 34694  df-atl 34725  df-cvlat 34749  df-hlat 34778

This theorem is referenced by:  2llnneN  34835  atexchcvrN  34866  atbtwnex  34874  3dimlem3  34887  3dimlem3OLDN  34888  3dimlem4  34890  3dimlem4OLDN  34891  hlatexch4  34907  3atlem5  34913  dalem27  35125  cdlemblem  35219  paddasslem1  35246  paddasslem6  35251  cdleme3g  35661  cdleme3h  35662  cdleme7d  35673  cdleme11c  35688  cdleme11dN  35689  cdleme36a  35888  cdlemeg46rgv  35956  cdlemk14  36282  dia2dimlem1  36493  dia2dimlem2  36494  dia2dimlem3  36495