Theorem hlatexch2 34593

Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatexchb.l	|- .<_ = ( le ` K )
hlatexchb.j	|- .\/ = ( join ` K )
hlatexchb.a	|- A = ( Atoms ` K )

Assertion

Ref	Expression
hlatexch2	|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= R ) -> ( P .<_ ( Q .\/ R ) -> Q .<_ ( P .\/ R ) ) )

Proof of Theorem hlatexch2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcvl 34557	. 2 |- ( K e. HL -> K e. CvLat )
2		hlatexchb.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
3		hlatexchb.j	. . 3 |- .\/ = ( join ` K )
4		hlatexchb.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
5	2, 3, 4	cvlatexch2 34535	. 2 |- ( ( K e. CvLat /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= R ) -> ( P .<_ ( Q .\/ R ) -> Q .<_ ( P .\/ R ) ) )
6	1, 5	syl3an1 1261	1 |- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= R ) -> ( P .<_ ( Q .\/ R ) -> Q .<_ ( P .\/ R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   lecple 14579   joincjn 15448   Atomscatm 34461   CvLatclc 34463   HLchlt 34548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-lat 15550  df-covers 34464  df-ats 34465  df-atl 34496  df-cvlat 34520  df-hlat 34549

This theorem is referenced by:  2llnneN  34606  atexchcvrN  34637  atbtwnex  34645  3dimlem3  34658  3dimlem3OLDN  34659  3dimlem4  34661  3dimlem4OLDN  34662  hlatexch4  34678  3atlem5  34684  dalem27  34896  cdlemblem  34990  paddasslem1  35017  paddasslem6  35022  cdleme3g  35431  cdleme3h  35432  cdleme7d  35443  cdleme11c  35458  cdleme11dN  35459  cdleme36a  35657  cdlemeg46rgv  35725  cdlemk14  36051  dia2dimlem1  36262  dia2dimlem2  36263  dia2dimlem3  36264