Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatexch1 Structured version   Unicode version

Theorem hlatexch1 35535
Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 7-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatexchb.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatexchb.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatexchb.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatexch1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  P  =/=  R )  ->  ( P  .<_  ( R  .\/  Q
)  ->  Q  .<_  ( R  .\/  P ) ) )

Proof of Theorem hlatexch1
StepHypRef Expression
1 hlcvl 35500 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CvLat )
2 hlatexchb.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 hlatexchb.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 hlatexchb.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
52, 3, 4cvlatexch1 35477 . 2  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  P  =/=  R
)  ->  ( P  .<_  ( R  .\/  Q
)  ->  Q  .<_  ( R  .\/  P ) ) )
61, 5syl3an1 1259 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  P  =/=  R )  ->  ( P  .<_  ( R  .\/  Q
)  ->  Q  .<_  ( R  .\/  P ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   lecple 14794   joincjn 15775   Atomscatm 35404   CvLatclc 35406   HLchlt 35491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-preset 15759  df-poset 15777  df-plt 15790  df-lub 15806  df-glb 15807  df-join 15808  df-meet 15809  df-p0 15871  df-lat 15878  df-covers 35407  df-ats 35408  df-atl 35439  df-cvlat 35463  df-hlat 35492
This theorem is referenced by:  exatleN  35544  3noncolr2  35589  4noncolr3  35593  3atlem4  35626  3atlem6  35628  4atlem0ae  35734  dalem3  35804  dalem5  35807  dalem-cly  35811  dalem28  35840  cdlema1N  35931  cdlemblem  35933  paddasslem2  35961  pmodlem1  35986  osumcllem6N  36101  pexmidlem3N  36112  trlval4  36329  cdlemd3  36341  cdleme3h  36376  cdleme7aa  36383  cdleme11j  36408  cdleme15b  36416  cdlemg27b  36838
  Copyright terms: Public domain W3C validator