Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlateq Structured version   Unicode version

Theorem hlateq 32889
Description: The equality of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat4i 28018 analog.) (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
hlatle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatle.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlateq  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. p  e.  A  ( p  .<_  X  <-> 
p  .<_  Y )  <->  X  =  Y ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    K, p    .<_ , p    X, p    Y, p

Proof of Theorem hlateq
StepHypRef Expression
1 hlatle.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 hlatle.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 hlatle.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 3hlatle 32888 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
51, 2, 3hlatle 32888 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .<_  X  <->  A. p  e.  A  ( p  .<_  Y  ->  p  .<_  X ) ) )
653com23 1212 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .<_  X  <->  A. p  e.  A  ( p  .<_  Y  ->  p  .<_  X ) ) )
74, 6anbi12d 716 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  <-> 
( A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y )  /\  A. p  e.  A  ( p  .<_  Y  ->  p  .<_  X ) ) ) )
8 ralbiim 2961 . . 3  |-  ( A. p  e.  A  (
p  .<_  X  <->  p  .<_  Y )  <->  ( A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y )  /\  A. p  e.  A  ( p  .<_  Y  ->  p  .<_  X ) ) )
97, 8syl6rbbr 268 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. p  e.  A  ( p  .<_  X  <-> 
p  .<_  Y )  <->  ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X ) ) )
10 hllat 32854 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
111, 2latasymb 16293 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  <-> 
X  =  Y ) )
1210, 11syl3an1 1298 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  <-> 
X  =  Y ) )
139, 12bitrd 257 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. p  e.  A  ( p  .<_  X  <-> 
p  .<_  Y )  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   class class class wbr 4421   ` cfv 5599   Basecbs 15114   lecple 15190   Latclat 16284   Atomscatm 32754   HLchlt 32841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-preset 16166  df-poset 16184  df-plt 16197  df-lub 16213  df-glb 16214  df-join 16215  df-meet 16216  df-p0 16278  df-lat 16285  df-clat 16347  df-oposet 32667  df-ol 32669  df-oml 32670  df-covers 32757  df-ats 32758  df-atl 32789  df-cvlat 32813  df-hlat 32842
This theorem is referenced by:  lauteq  33585  ltrneq2  33638
  Copyright terms: Public domain W3C validator