Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlateq Structured version   Unicode version

Theorem hlateq 32397
Description: The equality of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat4i 27585 analog.) (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
hlatle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatle.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlateq  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. p  e.  A  ( p  .<_  X  <-> 
p  .<_  Y )  <->  X  =  Y ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    K, p    .<_ , p    X, p    Y, p

Proof of Theorem hlateq
StepHypRef Expression
1 hlatle.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 hlatle.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 hlatle.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 3hlatle 32396 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
51, 2, 3hlatle 32396 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .<_  X  <->  A. p  e.  A  ( p  .<_  Y  ->  p  .<_  X ) ) )
653com23 1203 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .<_  X  <->  A. p  e.  A  ( p  .<_  Y  ->  p  .<_  X ) ) )
74, 6anbi12d 709 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  <-> 
( A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y )  /\  A. p  e.  A  ( p  .<_  Y  ->  p  .<_  X ) ) ) )
8 ralbiim 2938 . . 3  |-  ( A. p  e.  A  (
p  .<_  X  <->  p  .<_  Y )  <->  ( A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y )  /\  A. p  e.  A  ( p  .<_  Y  ->  p  .<_  X ) ) )
97, 8syl6rbbr 264 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. p  e.  A  ( p  .<_  X  <-> 
p  .<_  Y )  <->  ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X ) ) )
10 hllat 32362 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
111, 2latasymb 15900 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  <-> 
X  =  Y ) )
1210, 11syl3an1 1263 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  <-> 
X  =  Y ) )
139, 12bitrd 253 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. p  e.  A  ( p  .<_  X  <-> 
p  .<_  Y )  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   class class class wbr 4394   ` cfv 5525   Basecbs 14733   lecple 14808   Latclat 15891   Atomscatm 32262   HLchlt 32349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-preset 15773  df-poset 15791  df-plt 15804  df-lub 15820  df-glb 15821  df-join 15822  df-meet 15823  df-p0 15885  df-lat 15892  df-clat 15954  df-oposet 32175  df-ol 32177  df-oml 32178  df-covers 32265  df-ats 32266  df-atl 32297  df-cvlat 32321  df-hlat 32350
This theorem is referenced by:  lauteq  33093  ltrneq2  33146
  Copyright terms: Public domain W3C validator