Theorem hl2atom 17053

Description: A Hilbert lattice has at least 2 atoms.

Hypothesis

Ref	Expression
hl2atom.a	|- A = (AtomsNEW` K)

Assertion

Ref	Expression
hl2atom	|- (K e. HL -> E.p e. A E.q e. A p =/= q)

Distinct variable groups:   q,p,A   K,p,q

Proof of Theorem hl2atom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . 3 |- (base` K) = (base` K)
2		eqid 1884	. . 3 |- (lt` K) = (lt` K)
3		eqid 1884	. . 3 |- (0.` K) = (0.` K)
4		eqid 1884	. . 3 |- (1.` K) = (1.` K)
5	1, 2, 3, 4	hlhght2 17038	. 2 |- (K e. HL -> E.x e. (base` K)((0.` K)(lt` K)x /\ x(lt` K)(1.` K)))
6		simpl 346	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ x e. (base` K)) -> K e. HL)
7		hlop 17025	. . . . . . . 8 |- (K e. HL -> K e. OP)
8	7	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((K e. HL /\ x e. (base` K)) -> K e. OP)
9	1, 3	op0cl 16914	. . . . . . 7 |- (K e. OP -> (0.` K) e. (base` K))
10	8, 9	syl 12	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ x e. (base` K)) -> (0.` K) e. (base` K))
11		simpr 350	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ x e. (base` K)) -> x e. (base` K))
12		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (le` K) = (le` K)
13		hl2atom.a	. . . . . . 7 |- A = (AtomsNEW` K)
14	1, 12, 2, 13	hlrelat1 17049	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ (0.` K) e. (base` K) /\ x e. (base` K)) -> ((0.` K)(lt` K)x -> E.p e. A (-. p(le` K)(0.` K) /\ p(le` K)x)))
15	6, 10, 11, 14	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ x e. (base` K)) -> ((0.` K)(lt` K)x -> E.p e. A (-. p(le` K)(0.` K) /\ p(le` K)x)))
16	1, 4	op1cl 16915	. . . . . . 7 |- (K e. OP -> (1.` K) e. (base` K))
17	8, 16	syl 12	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ x e. (base` K)) -> (1.` K) e. (base` K))
18	1, 12, 2, 13	hlrelat1 17049	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ x e. (base` K) /\ (1.` K) e. (base` K)) -> (x(lt` K)(1.` K) -> E.q e. A (-. q(le` K)x /\ q(le` K)(1.` K))))
19	17, 18	mpd3an3 1192	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ x e. (base` K)) -> (x(lt` K)(1.` K) -> E.q e. A (-. q(le` K)x /\ q(le` K)(1.` K))))
20	15, 19	anim12d 617	. . . 4 |- ((K e. HL /\ x e. (base` K)) -> (((0.` K)(lt` K)x /\ x(lt` K)(1.` K)) -> (E.p e. A (-. p(le` K)(0.` K) /\ p(le` K)x) /\ E.q e. A (-. q(le` K)x /\ q(le` K)(1.` K)))))
21		reeanv 2249	. . . . 5 |- (E.p e. A E.q e. A ((-. p(le` K)(0.` K) /\ p(le` K)x) /\ (-. q(le` K)x /\ q(le` K)(1.` K))) <-> (E.p e. A (-. p(le` K)(0.` K) /\ p(le` K)x) /\ E.q e. A (-. q(le` K)x /\ q(le` K)(1.` K))))
22		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (p = q -> (p(le` K)x <-> q(le` K)x))
23	22	biimpcd 172	. . . . . . . . . 10 |- (p(le` K)x -> (p = q -> q(le` K)x))
24	23	necon3bd 2039	. . . . . . . . 9 |- (p(le` K)x -> (-. q(le` K)x -> p =/= q))
25	24	imp 377	. . . . . . . 8 |- ((p(le` K)x /\ -. q(le` K)x) -> p =/= q)
26	25	ad2ant2lr 446	. . . . . . 7 |- (((-. p(le` K)(0.` K) /\ p(le` K)x) /\ (-. q(le` K)x /\ q(le` K)(1.` K))) -> p =/= q)
27	26	reximi 2198	. . . . . 6 |- (E.q e. A ((-. p(le` K)(0.` K) /\ p(le` K)x) /\ (-. q(le` K)x /\ q(le` K)(1.` K))) -> E.q e. A p =/= q)
28	27	reximi 2198	. . . . 5 |- (E.p e. A E.q e. A ((-. p(le` K)(0.` K) /\ p(le` K)x) /\ (-. q(le` K)x /\ q(le` K)(1.` K))) -> E.p e. A E.q e. A p =/= q)
29	21, 28	sylbir 218	. . . 4 |- ((E.p e. A (-. p(le` K)(0.` K) /\ p(le` K)x) /\ E.q e. A (-. q(le` K)x /\ q(le` K)(1.` K))) -> E.p e. A E.q e. A p =/= q)
30	20, 29	syl6 25	. . 3 |- ((K e. HL /\ x e. (base` K)) -> (((0.` K)(lt` K)x /\ x(lt` K)(1.` K)) -> E.p e. A E.q e. A p =/= q))
31	30	r19.23adva 2216	. 2 |- (K e. HL -> (E.x e. (base` K)((0.` K)(lt` K)x /\ x(lt` K)(1.` K)) -> E.p e. A E.q e. A p =/= q))
32	5, 31	mpd 29	1 |- (K e. HL -> E.p e. A E.q e. A p =/= q)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  lecple 16759  ltcplt 16761  0.cp0 16832  1.cp1 16833  OPcops 16837  AtomsNEWcatm 16981  HLchlt 16983

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-pge 16792  df-lub 16799  df-glb 16800  df-join 16801  df-meet 16802  df-p0 16841  df-lat 16847  df-clat 16848  df-oposet 16905  df-ol 16907  df-oml 16908  df-covers 16984  df-atoms 16985  df-atlat 16986  df-hlat 17017

Copyright terms: Public domain