HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilcompl Structured version   Unicode version

Theorem hilcompl 24782
Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 24783 from ZFC Hilbert space theory. The first 5 hypotheses would be satisfied by the definitions described in ax-hilex 24580; the 6th would be satisfied by eqid 2454; the 7th by a given fixed Hilbert space; and the last by theorem hlcompl 24495. (Contributed by NM, 13-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hilcompl.1  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
hilcompl.2  |-  +h  =  ( +v `  U )
hilcompl.3  |-  .h  =  ( .sOLD `  U
)
hilcompl.4  |-  .ih  =  ( .iOLD `  U
)
hilcompl.5  |-  D  =  ( IndMet `  U )
hilcompl.6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
hilcompl.7  |-  U  e. 
CHilOLD
hilcompl.8  |-  ( F  e.  ( Cau `  D
)  ->  E. x  e.  ~H  F ( ~~> t `  J ) x )
Assertion
Ref Expression
hilcompl  |-  ( F  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  F  ~~>v  x )
Distinct variable group:    x, F
Allowed substitution hints:    D( x)    U( x)    J( x)

Proof of Theorem hilcompl
StepHypRef Expression
1 hilcompl.1 . . 3  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
2 hilcompl.2 . . 3  |-  +h  =  ( +v `  U )
3 hilcompl.3 . . 3  |-  .h  =  ( .sOLD `  U
)
4 hilcompl.4 . . 3  |-  .ih  =  ( .iOLD `  U
)
5 hilcompl.7 . . . 4  |-  U  e. 
CHilOLD
65hlnvi 24472 . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
71, 2, 3, 4, 6hilhhi 24745 . 2  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
8 hilcompl.5 . 2  |-  D  =  ( IndMet `  U )
9 hilcompl.6 . 2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
10 hilcompl.8 . 2  |-  ( F  e.  ( Cau `  D
)  ->  E. x  e.  ~H  F ( ~~> t `  J ) x )
117, 8, 9, 10hhcmpl 24781 1  |-  ( F  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  F  ~~>v  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2800   class class class wbr 4403   ` cfv 5529   MetOpencmopn 17941   ~~> tclm 18972   Caucca 20906   +vcpv 24142   BaseSetcba 24143   .sOLDcns 24144   IndMetcims 24148   .iOLDcdip 24274   CHilOLDchlo 24465   ~Hchil 24500    +h cva 24501    .h csm 24502    .ih csp 24503   Cauchyccau 24507    ~~>v chli 24508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-addf 9476  ax-mulf 9477  ax-hilex 24580  ax-hfvadd 24581  ax-hvcom 24582  ax-hvass 24583  ax-hv0cl 24584  ax-hvaddid 24585  ax-hfvmul 24586  ax-hvmulid 24587  ax-hvmulass 24588  ax-hvdistr1 24589  ax-hvdistr2 24590  ax-hvmul0 24591  ax-hfi 24660  ax-his1 24663  ax-his2 24664  ax-his3 24665  ax-his4 24666
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-clim 13088  df-sum 13286  df-topgen 14505  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-lm 18975  df-cau 20909  df-grpo 23857  df-gid 23858  df-ginv 23859  df-gdiv 23860  df-ablo 23948  df-vc 24103  df-nv 24149  df-va 24152  df-ba 24153  df-sm 24154  df-0v 24155  df-vs 24156  df-nmcv 24157  df-ims 24158  df-dip 24275  df-cbn 24443  df-hlo 24466  df-hnorm 24549  df-hvsub 24552  df-hlim 24553  df-hcau 24554
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator