Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hilbert1.1 Structured version   Unicode version

Theorem hilbert1.1 29731
 Description: There is a line through any two distinct points. Hilbert's axiom I.1 for geometry. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
hilbert1.1 LinesEE
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem hilbert1.1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . . 5
2 simp2 997 . . . . 5
3 simp3 998 . . . . 5
4 eqidd 2468 . . . . 5 Line Line
5 neeq1 2748 . . . . . . 7
6 oveq1 6302 . . . . . . . 8 Line Line
76eqeq2d 2481 . . . . . . 7 Line Line Line Line
85, 7anbi12d 710 . . . . . 6 Line Line Line Line
9 neeq2 2750 . . . . . . 7
10 oveq2 6303 . . . . . . . 8 Line Line
1110eqeq2d 2481 . . . . . . 7 Line Line Line Line
129, 11anbi12d 710 . . . . . 6 Line Line Line Line
138, 12rspc2ev 3230 . . . . 5 Line Line Line Line
141, 2, 3, 4, 13syl112anc 1232 . . . 4 Line Line
15 fveq2 5872 . . . . . 6
1615rexeqdv 3070 . . . . . 6 Line Line Line Line
1715, 16rexeqbidv 3078 . . . . 5 Line Line Line Line
1817rspcev 3219 . . . 4 Line Line Line Line
1914, 18sylan2 474 . . 3 Line Line
20 ellines 29729 . . 3 Line LinesEE Line Line
2119, 20sylibr 212 . 2 Line LinesEE
22 linerflx1 29726 . 2 Line
23 linerflx2 29728 . 2 Line
24 eleq2 2540 . . . 4 Line Line
25 eleq2 2540 . . . 4 Line Line
2624, 25anbi12d 710 . . 3 Line Line Line
2726rspcev 3219 . 2 Line LinesEE Line Line LinesEE
2821, 22, 23, 27syl12anc 1226 1 LinesEE
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wrex 2818  cfv 5594  (class class class)co 6295  cn 10548  cee 24014  Linecline2 29711  LinesEEclines2 29713 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-ec 7325  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-ee 24017  df-btwn 24018  df-cgr 24019  df-colinear 29616  df-line2 29714  df-lines2 29716 This theorem is referenced by:  linethrueu  29733
 Copyright terms: Public domain W3C validator