Theorem hiassdi 10590

Description: Distributive/associative law for inner product, useful for linearity proofs.

Assertion

Ref	Expression
hiassdi	|- (((A e. CC /\ B e. ~H) /\ (C e. ~H /\ D e. ~H)) -> (((A .h B) +h C) .ih D) = ((A x. (B .ih D)) + (C .ih D)))

Proof of Theorem hiassdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his2 10583	. . . 4 |- (((A .h B) e. ~H /\ C e. ~H /\ D e. ~H) -> (((A .h B) +h C) .ih D) = (((A .h B) .ih D) + (C .ih D)))
2	1	3expb 1068	. . 3 |- (((A .h B) e. ~H /\ (C e. ~H /\ D e. ~H)) -> (((A .h B) +h C) .ih D) = (((A .h B) .ih D) + (C .ih D)))
3		hvmulcl 10515	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. ~H) -> (A .h B) e. ~H)
4	2, 3	sylan 497	. 2 |- (((A e. CC /\ B e. ~H) /\ (C e. ~H /\ D e. ~H)) -> (((A .h B) +h C) .ih D) = (((A .h B) .ih D) + (C .ih D)))
5		ax-his3 10584	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. ~H /\ D e. ~H) -> ((A .h B) .ih D) = (A x. (B .ih D)))
6	5	3expa 1067	. . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. ~H) /\ D e. ~H) -> ((A .h B) .ih D) = (A x. (B .ih D)))
7	6	adantrl 430	. . 3 |- (((A e. CC /\ B e. ~H) /\ (C e. ~H /\ D e. ~H)) -> ((A .h B) .ih D) = (A x. (B .ih D)))
8	7	opreq1d 4897	. 2 |- (((A e. CC /\ B e. ~H) /\ (C e. ~H /\ D e. ~H)) -> (((A .h B) .ih D) + (C .ih D)) = ((A x. (B .ih D)) + (C .ih D)))
9	4, 8	eqtrd 1925	1 |- (((A e. CC /\ B e. ~H) /\ (C e. ~H /\ D e. ~H)) -> (((A .h B) +h C) .ih D) = ((A x. (B .ih D)) + (C .ih D)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  (class class class)co 4884  CCcc 6384   + caddc 6389   x. cmul 6391  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422   .ih csp 10425

This theorem is referenced by:  unoplin 11481  hmoplin 11503

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hfvmul 10507  ax-his2 10583  ax-his3 10584

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886

Copyright terms: Public domain