HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssvs Structured version   Unicode version

Theorem hhssvs 26758
Description: The vector subtraction operation on a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsssh2.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
hhssba.2  |-  H  e.  SH
Assertion
Ref Expression
hhssvs  |-  (  -h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( -v `  W )

Proof of Theorem hhssvs
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . 4  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
21hhnv 26653 . . 3  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
3 hhssba.2 . . . 4  |-  H  e.  SH
4 hhsssh2.1 . . . . 5  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
51, 4hhsst 26752 . . . 4  |-  ( H  e.  SH  ->  W  e.  ( SubSp `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)
63, 5ax-mp 5 . . 3  |-  W  e.  ( SubSp `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
74, 3hhssba 26757 . . . 4  |-  H  =  ( BaseSet `  W )
81hhvs 26658 . . . 4  |-  -h  =  ( -v `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
9 eqid 2429 . . . 4  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
10 eqid 2429 . . . 4  |-  ( SubSp ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  (
SubSp `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
117, 8, 9, 10sspm 26218 . . 3  |-  ( (
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)  ->  ( -v `  W )  =  (  -h  |`  ( H  X.  H ) ) )
122, 6, 11mp2an 676 . 2  |-  ( -v
`  W )  =  (  -h  |`  ( H  X.  H ) )
1312eqcomi 2442 1  |-  (  -h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( -v `  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1870   <.cop 4008    X. cxp 4852    |` cres 4856   ` cfv 5601   CCcc 9536   NrmCVeccnv 26048   -vcnsb 26053   SubSpcss 26205    +h cva 26408    .h csm 26409   normhcno 26411    -h cmv 26413   SHcsh 26416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618  ax-hilex 26487  ax-hfvadd 26488  ax-hvcom 26489  ax-hvass 26490  ax-hv0cl 26491  ax-hvaddid 26492  ax-hfvmul 26493  ax-hvmulid 26494  ax-hvmulass 26495  ax-hvdistr1 26496  ax-hvdistr2 26497  ax-hvmul0 26498  ax-hfi 26567  ax-his1 26570  ax-his2 26571  ax-his3 26572  ax-his4 26573
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-lm 20176  df-haus 20262  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-subgo 25875  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064  df-ims 26065  df-ssp 26206  df-hnorm 26456  df-hba 26457  df-hvsub 26459  df-hlim 26460  df-sh 26695  df-ch 26709  df-ch0 26741
This theorem is referenced by:  hhssvsf  26759  hhssims  26761  hhssmetdval  26764
  Copyright terms: Public domain W3C validator