HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssva Structured version   Unicode version

Theorem hhssva 26895
Description: The vector addition operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhss.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
Assertion
Ref Expression
hhssva  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( +v `  W )

Proof of Theorem hhssva
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . 3  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
21vafval 26207 . 2  |-  ( +v
`  W )  =  ( 1st `  ( 1st `  W ) )
3 hhss.1 . . . . 5  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
43fveq2i 5880 . . . 4  |-  ( 1st `  W )  =  ( 1st `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
5 opex 4681 . . . . 5  |-  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  e.  _V
6 normf 26761 . . . . . . 7  |-  normh : ~H --> RR
7 ax-hilex 26637 . . . . . . 7  |-  ~H  e.  _V
8 fex 6149 . . . . . . 7  |-  ( (
normh : ~H --> RR  /\  ~H  e.  _V )  ->  normh  e.  _V )
96, 7, 8mp2an 676 . . . . . 6  |-  normh  e.  _V
109resex 5163 . . . . 5  |-  ( normh  |`  H )  e.  _V
115, 10op1st 6811 . . . 4  |-  ( 1st `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.
124, 11eqtri 2451 . . 3  |-  ( 1st `  W )  =  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.
1312fveq2i 5880 . 2  |-  ( 1st `  ( 1st `  W
) )  =  ( 1st `  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. )
14 hilablo 26798 . . . 4  |-  +h  e.  AbelOp
15 resexg 5162 . . . 4  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e.  _V )
1614, 15ax-mp 5 . . 3  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  _V
17 hvmulex 26649 . . . 4  |-  .h  e.  _V
1817resex 5163 . . 3  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  e.  _V
1916, 18op1st 6811 . 2  |-  ( 1st `  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. )  =  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
202, 13, 193eqtrri 2456 1  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( +v `  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081   <.cop 4002    X. cxp 4847    |` cres 4851   -->wf 5593   ` cfv 5597   1stc1st 6801   CCcc 9537   RRcr 9538   AbelOpcablo 25994   +vcpv 26189   ~Hchil 26557    +h cva 26558    .h csm 26559   normhcno 26561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-hilex 26637  ax-hfvadd 26638  ax-hvcom 26639  ax-hvass 26640  ax-hv0cl 26641  ax-hvaddid 26642  ax-hfvmul 26643  ax-hvmulid 26644  ax-hvdistr2 26647  ax-hvmul0 26648  ax-hfi 26717  ax-his1 26720  ax-his3 26722  ax-his4 26723
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-sup 7958  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-grpo 25904  df-ablo 25995  df-va 26199  df-hnorm 26606  df-hvsub 26609
This theorem is referenced by:  hhsst  26902  hhsssh2  26906
  Copyright terms: Public domain W3C validator