HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssva Structured version   Unicode version

Theorem hhssva 25998
Description: The vector addition operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhss.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
Assertion
Ref Expression
hhssva  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( +v `  W )

Proof of Theorem hhssva
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
21vafval 25319 . 2  |-  ( +v
`  W )  =  ( 1st `  ( 1st `  W ) )
3 hhss.1 . . . . 5  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
43fveq2i 5875 . . . 4  |-  ( 1st `  W )  =  ( 1st `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
5 opex 4717 . . . . 5  |-  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  e.  _V
6 normf 25863 . . . . . . 7  |-  normh : ~H --> RR
7 ax-hilex 25739 . . . . . . 7  |-  ~H  e.  _V
8 fex 6144 . . . . . . 7  |-  ( (
normh : ~H --> RR  /\  ~H  e.  _V )  ->  normh  e.  _V )
96, 7, 8mp2an 672 . . . . . 6  |-  normh  e.  _V
109resex 5323 . . . . 5  |-  ( normh  |`  H )  e.  _V
115, 10op1st 6803 . . . 4  |-  ( 1st `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.
124, 11eqtri 2496 . . 3  |-  ( 1st `  W )  =  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.
1312fveq2i 5875 . 2  |-  ( 1st `  ( 1st `  W
) )  =  ( 1st `  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. )
14 hilablo 25900 . . . 4  |-  +h  e.  AbelOp
15 resexg 5322 . . . 4  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e.  _V )
1614, 15ax-mp 5 . . 3  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  _V
17 hvmulex 25751 . . . 4  |-  .h  e.  _V
1817resex 5323 . . 3  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  e.  _V
1916, 18op1st 6803 . 2  |-  ( 1st `  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. )  =  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
202, 13, 193eqtrri 2501 1  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( +v `  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   <.cop 4039    X. cxp 5003    |` cres 5007   -->wf 5590   ` cfv 5594   1stc1st 6793   CCcc 9502   RRcr 9503   AbelOpcablo 25106   +vcpv 25301   ~Hchil 25659    +h cva 25660    .h csm 25661   normhcno 25663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-hilex 25739  ax-hfvadd 25740  ax-hvcom 25741  ax-hvass 25742  ax-hv0cl 25743  ax-hvaddid 25744  ax-hfvmul 25745  ax-hvmulid 25746  ax-hvdistr2 25749  ax-hvmul0 25750  ax-hfi 25819  ax-his1 25822  ax-his3 25824  ax-his4 25825
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-grpo 25016  df-ablo 25107  df-va 25311  df-hnorm 25708  df-hvsub 25711
This theorem is referenced by:  hhsst  26005  hhsssh2  26009
  Copyright terms: Public domain W3C validator