HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsst Structured version   Unicode version

Theorem hhsst 26383
Description: A member of  SH is a subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
hhsst.2  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
Assertion
Ref Expression
hhsst  |-  ( H  e.  SH  ->  W  e.  ( SubSp `  U )
)

Proof of Theorem hhsst
StepHypRef Expression
1 hhsst.2 . . . 4  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
21hhssnvt 26382 . . 3  |-  ( H  e.  SH  ->  W  e.  NrmCVec )
3 resss 5285 . . . 4  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  C_  +h
4 resss 5285 . . . 4  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  C_  .h
5 resss 5285 . . . 4  |-  ( normh  |`  H )  C_  normh
63, 4, 53pm3.2i 1172 . . 3  |-  ( (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  C_  +h  /\  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) 
C_  .h  /\  ( normh 
|`  H )  C_  normh
)
72, 6jctir 536 . 2  |-  ( H  e.  SH  ->  ( W  e.  NrmCVec  /\  (
(  +h  |`  ( H  X.  H ) ) 
C_  +h  /\  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  C_  .h  /\  ( normh  |`  H ) 
C_  normh ) ) )
8 hhsst.1 . . . 4  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
98hhnv 26283 . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
108hhva 26284 . . . 4  |-  +h  =  ( +v `  U )
111hhssva 26376 . . . 4  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( +v `  W )
128hhsm 26287 . . . 4  |-  .h  =  ( .sOLD `  U
)
131hhsssm 26377 . . . 4  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  =  ( .sOLD `  W
)
148hhnm 26289 . . . 4  |-  normh  =  (
normCV
`  U )
151hhssnm 26378 . . . 4  |-  ( normh  |`  H )  =  (
normCV
`  W )
16 eqid 2454 . . . 4  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
1710, 11, 12, 13, 14, 15, 16isssp 25838 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( W  e.  ( SubSp `  U )  <->  ( W  e.  NrmCVec  /\  (
(  +h  |`  ( H  X.  H ) ) 
C_  +h  /\  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  C_  .h  /\  ( normh  |`  H ) 
C_  normh ) ) ) )
189, 17ax-mp 5 . 2  |-  ( W  e.  ( SubSp `  U
)  <->  ( W  e.  NrmCVec 
/\  ( (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  C_  +h  /\  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) 
C_  .h  /\  ( normh 
|`  H )  C_  normh
) ) )
197, 18sylibr 212 1  |-  ( H  e.  SH  ->  W  e.  ( SubSp `  U )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   <.cop 4022    X. cxp 4986    |` cres 4990   ` cfv 5570   CCcc 9479   NrmCVeccnv 25678   SubSpcss 25835    +h cva 26038    .h csm 26039   normhcno 26041   SHcsh 26046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561  ax-hilex 26117  ax-hfvadd 26118  ax-hvcom 26119  ax-hvass 26120  ax-hv0cl 26121  ax-hvaddid 26122  ax-hfvmul 26123  ax-hvmulid 26124  ax-hvmulass 26125  ax-hvdistr1 26126  ax-hvdistr2 26127  ax-hvmul0 26128  ax-hfi 26197  ax-his1 26200  ax-his2 26201  ax-his3 26202  ax-his4 26203
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-seq 12093  df-exp 12152  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-topgen 14936  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-lm 19900  df-haus 19986  df-grpo 25394  df-gid 25395  df-ginv 25396  df-gdiv 25397  df-ablo 25485  df-subgo 25505  df-vc 25640  df-nv 25686  df-va 25689  df-ba 25690  df-sm 25691  df-0v 25692  df-vs 25693  df-nmcv 25694  df-ims 25695  df-ssp 25836  df-hnorm 26086  df-hba 26087  df-hvsub 26089  df-hlim 26090  df-sh 26325  df-ch 26340  df-ch0 26372
This theorem is referenced by:  hhsssh  26386  hhssba  26388  hhssvs  26389  hhssph  26391  pjhthlem2  26511
  Copyright terms: Public domain W3C validator