HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsssm Structured version   Unicode version

Theorem hhsssm 24814
Description: The scalar multiplication operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhss.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
Assertion
Ref Expression
hhsssm  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  =  ( .sOLD `  W
)

Proof of Theorem hhsssm
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  ( .sOLD `  W )  =  ( .sOLD `  W )
21smfval 24136 . 2  |-  ( .sOLD `  W )  =  ( 2nd `  ( 1st `  W ) )
3 hhss.1 . . . . 5  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
43fveq2i 5803 . . . 4  |-  ( 1st `  W )  =  ( 1st `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
5 opex 4665 . . . . 5  |-  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  e.  _V
6 normf 24678 . . . . . . 7  |-  normh : ~H --> RR
7 ax-hilex 24554 . . . . . . 7  |-  ~H  e.  _V
8 fex 6060 . . . . . . 7  |-  ( (
normh : ~H --> RR  /\  ~H  e.  _V )  ->  normh  e.  _V )
96, 7, 8mp2an 672 . . . . . 6  |-  normh  e.  _V
109resex 5259 . . . . 5  |-  ( normh  |`  H )  e.  _V
115, 10op1st 6696 . . . 4  |-  ( 1st `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.
124, 11eqtri 2483 . . 3  |-  ( 1st `  W )  =  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.
1312fveq2i 5803 . 2  |-  ( 2nd `  ( 1st `  W
) )  =  ( 2nd `  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. )
14 hilablo 24715 . . . 4  |-  +h  e.  AbelOp
15 resexg 5258 . . . 4  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e.  _V )
1614, 15ax-mp 5 . . 3  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  _V
17 hvmulex 24566 . . . 4  |-  .h  e.  _V
1817resex 5259 . . 3  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  e.  _V
1916, 18op2nd 6697 . 2  |-  ( 2nd `  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. )  =  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
202, 13, 193eqtrri 2488 1  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  =  ( .sOLD `  W
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   <.cop 3992    X. cxp 4947    |` cres 4951   -->wf 5523   ` cfv 5527   1stc1st 6686   2ndc2nd 6687   CCcc 9392   RRcr 9393   AbelOpcablo 23921   .sOLDcns 24118   ~Hchil 24474    +h cva 24475    .h csm 24476   normhcno 24478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-hilex 24554  ax-hfvadd 24555  ax-hvcom 24556  ax-hvass 24557  ax-hv0cl 24558  ax-hvaddid 24559  ax-hfvmul 24560  ax-hvmulid 24561  ax-hvdistr2 24564  ax-hvmul0 24565  ax-hfi 24634  ax-his1 24637  ax-his3 24639  ax-his4 24640
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-seq 11925  df-exp 11984  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-grpo 23831  df-ablo 23922  df-sm 24128  df-hnorm 24523  df-hvsub 24526
This theorem is referenced by:  hhsst  24820  hhsssh2  24824
  Copyright terms: Public domain W3C validator