Theorem hhsssh2 10773

Description: The predicate "H is a subspace of Hilbert space."

Hypothesis

Ref	Expression
hhsssh2.1	|- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.

Assertion

Ref	Expression
hhsssh2	|- (H e. SH <-> (W e. NrmCVec /\ H C_ ~H))

Proof of Theorem hhsssh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . 3 |- <.<. +h , .h >., normh>. = <.<. +h , .h >., normh>.
2		hhsssh2.1	. . 3 |- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
3	1, 2	hhsssh 10772	. 2 |- (H e. SH <-> (W e. (SubSp` <.<. +h , .h >., normh>.) /\ H C_ ~H))
4	1	hhnv 10665	. . . . 5 |- <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec
5	1	hhva 10666	. . . . . 6 |- +h = (+v` <.<. +h , .h >., normh>.)
6	2	fveq2i 4684	. . . . . . 7 |- (+v` W) = (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
7		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
8	7	vafval 9554	. . . . . . . 8 |- (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (1st` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.))
9		opex 3527	. . . . . . . . . . 11 |- <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>. e. _V
10	9	op1st 5026	. . . . . . . . . 10 |- (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.
11	10	fveq2i 4684	. . . . . . . . 9 |- (1st` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)) = (1st` <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.)
12		hilabl 10660	. . . . . . . . . . 11 |- +h e. Abel
13		resexg 4250	. . . . . . . . . . 11 |- ( +h e. Abel -> ( +h |` (H X. H)) e. _V)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- ( +h |` (H X. H)) e. _V
15	14	op1st 5026	. . . . . . . . 9 |- (1st` <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.) = ( +h |` (H X. H))
16	11, 15	eqtri 1908	. . . . . . . 8 |- (1st` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)) = ( +h |` (H X. H))
17	8, 16	eqtri 1908	. . . . . . 7 |- (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = ( +h |` (H X. H))
18	6, 17	eqtr2i 1909	. . . . . 6 |- ( +h |` (H X. H)) = (+v` W)
19	1	hhsm 10669	. . . . . 6 |- .h = (.s` <.<. +h , .h >., normh>.)
20	2	fveq2i 4684	. . . . . . 7 |- (.s` W) = (.s` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
21		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- (.s` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (.s` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
22	21	smfval 9556	. . . . . . . 8 |- (.s` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (2nd` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.))
23	10	fveq2i 4684	. . . . . . . . 9 |- (2nd` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)) = (2nd` <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.)
24		hvmulex 10513	. . . . . . . . . . 11 |- .h e. _V
25		resexg 4250	. . . . . . . . . . 11 |- ( .h e. _V -> ( .h |` (CC X. H)) e. _V)
26	24, 25	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- ( .h |` (CC X. H)) e. _V
27	14, 26	op2nd 5027	. . . . . . . . 9 |- (2nd` <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.) = ( .h |` (CC X. H))
28	23, 27	eqtri 1908	. . . . . . . 8 |- (2nd` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)) = ( .h |` (CC X. H))
29	22, 28	eqtri 1908	. . . . . . 7 |- (.s` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = ( .h |` (CC X. H))
30	20, 29	eqtr2i 1909	. . . . . 6 |- ( .h |` (CC X. H)) = (.s` W)
31	1	hhnm 10671	. . . . . 6 |- normh = (norm` <.<. +h , .h >., normh>.)
32	2	fveq2i 4684	. . . . . . 7 |- (norm` W) = (norm` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
33		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- (norm` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (norm` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
34	33	nmfval 9558	. . . . . . . 8 |- (norm` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (2nd` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
35		normf 10622	. . . . . . . . . . 11 |- normh:~H-->RR
36		ax-hilex 10501	. . . . . . . . . . 11 |- ~H e. _V
37		fex 4595	. . . . . . . . . . 11 |- ((normh:~H-->RR /\ ~H e. _V) -> normh e. _V)
38	35, 36, 37	mp2an 761	. . . . . . . . . 10 |- normh e. _V
39		resexg 4250	. . . . . . . . . 10 |- (normh e. _V -> (normh |` H) e. _V)
40	38, 39	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (normh |` H) e. _V
41	9, 40	op2nd 5027	. . . . . . . 8 |- (2nd` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (normh |` H)
42	34, 41	eqtri 1908	. . . . . . 7 |- (norm` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (normh |` H)
43	32, 42	eqtr2i 1909	. . . . . 6 |- (normh |` H) = (norm` W)
44		eqid 1884	. . . . . 6 |- (SubSp` <.<. +h , .h >., normh>.) = (SubSp` <.<. +h , .h >., normh>.)
45	5, 18, 19, 30, 31, 43, 44	isssp 9722	. . . . 5 |- (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec -> (W e. (SubSp` <.<. +h , .h >., normh>.) <-> (W e. NrmCVec /\ (( +h |` (H X. H)) C_ +h /\ ( .h |` (CC X. H)) C_ .h /\ (normh |` H) C_ normh))))
46	4, 45	ax-mp 7	. . . 4 |- (W e. (SubSp` <.<. +h , .h >., normh>.) <-> (W e. NrmCVec /\ (( +h |` (H X. H)) C_ +h /\ ( .h |` (CC X. H)) C_ .h /\ (normh |` H) C_ normh)))
47		resss 4237	. . . . 5 |- ( +h |` (H X. H)) C_ +h
48		resss 4237	. . . . 5 |- ( .h |` (CC X. H)) C_ .h
49		resss 4237	. . . . 5 |- (normh |` H) C_ normh
50	47, 48, 49	3pm3.2i 1048	. . . 4 |- (( +h |` (H X. H)) C_ +h /\ ( .h |` (CC X. H)) C_ .h /\ (normh |` H) C_ normh)
51	46, 50	mpbiran2 799	. . 3 |- (W e. (SubSp` <.<. +h , .h >., normh>.) <-> W e. NrmCVec)
52	51	anbi1i 539	. 2 |- ((W e. (SubSp` <.<. +h , .h >., normh>.) /\ H C_ ~H) <-> (W e. NrmCVec /\ H C_ ~H))
53	3, 52	bitri 190	1 |- (H e. SH <-> (W e. NrmCVec /\ H C_ ~H))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  <.cop 3046   X. cxp 3984   |` cres 3988  -->wf 3994  ` cfv 3998  1stc1st 5018  2ndc2nd 5019  CCcc 6384  RRcr 6385  Abelcabl 9407  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  .scns 9538  normcnm 9541  SubSpcss 9719  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  normhcno 10426  SHcsh 10429

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-subg 9424  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ssp 9720  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-sh 10709  df-ch 10725  df-ch0 10758

Copyright terms: Public domain