Theorem hhsssh 10772

Description: The predicate "H is a subspace of Hilbert space."

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
hhsst.2	|- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.

Assertion

Ref	Expression
hhsssh	|- (H e. SH <-> (W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H))

Proof of Theorem hhsssh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhsst.1	. . . 4 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
2		hhsst.2	. . . 4 |- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
3	1, 2	hhsst 10769	. . 3 |- (H e. SH -> W e. (SubSp` U))
4		shss 10712	. . 3 |- (H e. SH -> H C_ ~H)
5	3, 4	jca 310	. 2 |- (H e. SH -> (W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H))
6		eleq1 1957	. . 3 |- (H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> (H e. SH <-> if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) e. SH))
7		eqid 1884	. . . 4 |- <.<.( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))), ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))>., (normh |` if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))>. = <.<.( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))), ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))>., (normh |` if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))>.
8		xpeq1 4016	. . . . . . . . . . . . 13 |- (H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> (H X. H) = (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. H))
9		xpeq2 4017	. . . . . . . . . . . . 13 |- (H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. H) = (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))
10	8, 9	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . 12 |- (H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> (H X. H) = (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))
11		reseq2 4219	. . . . . . . . . . . 12 |- ((H X. H) = (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)) -> ( +h |` (H X. H)) = ( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))))
12	10, 11	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> ( +h |` (H X. H)) = ( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))))
13		xpeq2 4017	. . . . . . . . . . . 12 |- (H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> (CC X. H) = (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))
14		reseq2 4219	. . . . . . . . . . . 12 |- ((CC X. H) = (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)) -> ( .h |` (CC X. H)) = ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))))
15	13, 14	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> ( .h |` (CC X. H)) = ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))))
16	12, 15	opeq12d 3166	. . . . . . . . . 10 |- (H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>. = <.( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))), ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))>.)
17		reseq2 4219	. . . . . . . . . 10 |- (H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> (normh |` H) = (normh |` if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))
18	16, 17	opeq12d 3166	. . . . . . . . 9 |- (H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>. = <.<.( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))), ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))>., (normh |` if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))>.)
19	18, 2	syl5eq 1940	. . . . . . . 8 |- (H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> W = <.<.( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))), ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))>., (normh |` if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))>.)
20	19	eleq1d 1963	. . . . . . 7 |- (H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> (W e. (SubSp` U) <-> <.<.( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))), ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))>., (normh |` if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))>. e. (SubSp` U)))
21		sseq1 2637	. . . . . . 7 |- (H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> (H C_ ~H <-> if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) C_ ~H))
22	20, 21	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> ((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H) <-> (<.<.( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))), ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))>., (normh |` if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))>. e. (SubSp` U) /\ if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) C_ ~H)))
23		xpeq1 4016	. . . . . . . . . . . 12 |- (~H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> (~H X. ~H) = (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. ~H))
24		xpeq2 4017	. . . . . . . . . . . 12 |- (~H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. ~H) = (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))
25	23, 24	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . 11 |- (~H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> (~H X. ~H) = (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))
26		reseq2 4219	. . . . . . . . . . 11 |- ((~H X. ~H) = (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)) -> ( +h |` (~H X. ~H)) = ( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))))
27	25, 26	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (~H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> ( +h |` (~H X. ~H)) = ( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))))
28		xpeq2 4017	. . . . . . . . . . 11 |- (~H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> (CC X. ~H) = (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))
29		reseq2 4219	. . . . . . . . . . 11 |- ((CC X. ~H) = (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)) -> ( .h |` (CC X. ~H)) = ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))))
30	28, 29	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (~H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> ( .h |` (CC X. ~H)) = ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))))
31	27, 30	opeq12d 3166	. . . . . . . . 9 |- (~H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> <.( +h |` (~H X. ~H)), ( .h |` (CC X. ~H))>. = <.( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))), ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))>.)
32		reseq2 4219	. . . . . . . . 9 |- (~H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> (normh |` ~H) = (normh |` if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))
33	31, 32	opeq12d 3166	. . . . . . . 8 |- (~H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> <.<.( +h |` (~H X. ~H)), ( .h |` (CC X. ~H))>., (normh |` ~H)>. = <.<.( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))), ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))>., (normh |` if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))>.)
34	33	eleq1d 1963	. . . . . . 7 |- (~H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> (<.<.( +h |` (~H X. ~H)), ( .h |` (CC X. ~H))>., (normh |` ~H)>. e. (SubSp` U) <-> <.<.( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))), ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))>., (normh |` if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))>. e. (SubSp` U)))
35		sseq1 2637	. . . . . . 7 |- (~H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> (~H C_ ~H <-> if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) C_ ~H))
36	34, 35	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (~H = if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) -> ((<.<.( +h |` (~H X. ~H)), ( .h |` (CC X. ~H))>., (normh |` ~H)>. e. (SubSp` U) /\ ~H C_ ~H) <-> (<.<.( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))), ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))>., (normh |` if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))>. e. (SubSp` U) /\ if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) C_ ~H)))
37		ax-hfvadd 10502	. . . . . . . . . . . . 13 |- +h :(~H X. ~H)-->~H
38		ffn 4562	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +h :(~H X. ~H)-->~H -> +h Fn (~H X. ~H))
39	37, 38	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- +h Fn (~H X. ~H)
40		fnresdm 4522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +h Fn (~H X. ~H) -> ( +h |` (~H X. ~H)) = +h )
41	39, 40	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- ( +h |` (~H X. ~H)) = +h
42		ax-hfvmul 10507	. . . . . . . . . . . . 13 |- .h :(CC X. ~H)-->~H
43		ffn 4562	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .h :(CC X. ~H)-->~H -> .h Fn (CC X. ~H))
44	42, 43	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- .h Fn (CC X. ~H)
45		fnresdm 4522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .h Fn (CC X. ~H) -> ( .h |` (CC X. ~H)) = .h )
46	44, 45	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- ( .h |` (CC X. ~H)) = .h
47	41, 46	opeq12i 3163	. . . . . . . . . 10 |- <.( +h |` (~H X. ~H)), ( .h |` (CC X. ~H))>. = <. +h , .h >.
48		normf 10622	. . . . . . . . . . . 12 |- normh:~H-->RR
49		ffn 4562	. . . . . . . . . . . 12 |- (normh:~H-->RR -> normh Fn ~H)
50	48, 49	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- normh Fn ~H
51		fnresdm 4522	. . . . . . . . . . 11 |- (normh Fn ~H -> (normh |` ~H) = normh)
52	50, 51	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (normh |` ~H) = normh
53	47, 52	opeq12i 3163	. . . . . . . . 9 |- <.<.( +h |` (~H X. ~H)), ( .h |` (CC X. ~H))>., (normh |` ~H)>. = <.<. +h , .h >., normh>.
54	53, 1	eqtr4i 1911	. . . . . . . 8 |- <.<.( +h |` (~H X. ~H)), ( .h |` (CC X. ~H))>., (normh |` ~H)>. = U
55	1	hhnv 10665	. . . . . . . . 9 |- U e. NrmCVec
56		eqid 1884	. . . . . . . . . 10 |- (SubSp` U) = (SubSp` U)
57	56	sspid 9723	. . . . . . . . 9 |- (U e. NrmCVec -> U e. (SubSp` U))
58	55, 57	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- U e. (SubSp` U)
59	54, 58	eqeltri 1967	. . . . . . 7 |- <.<.( +h |` (~H X. ~H)), ( .h |` (CC X. ~H))>., (normh |` ~H)>. e. (SubSp` U)
60		ssid 2634	. . . . . . 7 |- ~H C_ ~H
61	59, 60	pm3.2i 307	. . . . . 6 |- (<.<.( +h |` (~H X. ~H)), ( .h |` (CC X. ~H))>., (normh |` ~H)>. e. (SubSp` U) /\ ~H C_ ~H)
62	22, 36, 61	elimhyp 3021	. . . . 5 |- (<.<.( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))), ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))>., (normh |` if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))>. e. (SubSp` U) /\ if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) C_ ~H)
63	62	simpli 347	. . . 4 |- <.<.( +h |` (if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))), ( .h |` (CC X. if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H)))>., (normh |` if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H))>. e. (SubSp` U)
64	62	simpri 351	. . . 4 |- if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) C_ ~H
65	1, 7, 63, 64	hhshsslem2 10771	. . 3 |- if((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H), H, ~H) e. SH
66	6, 65	dedth 3011	. 2 |- ((W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H) -> H e. SH)
67	5, 66	impbii 174	1 |- (H e. SH <-> (W e. (SubSp` U) /\ H C_ ~H))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  ifcif 2982  <.cop 3046   X. cxp 3984   |` cres 3988   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  CCcc 6384  RRcr 6385  NrmCVeccnv 9535  SubSpcss 9719  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  normhcno 10426  SHcsh 10429

This theorem is referenced by:  hhsssh2 10773

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-subg 9424  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ssp 9720  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-sh 10709  df-ch 10725  df-ch0 10758

Copyright terms: Public domain