HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssnvt Structured version   Unicode version

Theorem hhssnvt 25873
Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssnvt.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
Assertion
Ref Expression
hhssnvt  |-  ( H  e.  SH  ->  W  e.  NrmCVec )

Proof of Theorem hhssnvt
StepHypRef Expression
1 hhssnvt.1 . . . 4  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
2 xpeq1 5013 . . . . . . . 8  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  ( H  X.  H )  =  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  H
) )
3 xpeq2 5014 . . . . . . . 8  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  H )  =  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
42, 3eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  ( H  X.  H )  =  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
54reseq2d 5272 . . . . . 6  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  =  (  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) )
6 xpeq2 5014 . . . . . . 7  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  ( CC  X.  H )  =  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
76reseq2d 5272 . . . . . 6  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  =  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) )
85, 7opeq12d 4221 . . . . 5  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  =  <. (  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) >.
)
9 reseq2 5267 . . . . 5  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  ( normh 
|`  H )  =  ( normh  |`  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )
) )
108, 9opeq12d 4221 . . . 4  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.  =  <. <.
(  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
>. ,  ( normh  |`  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) >. )
111, 10syl5eq 2520 . . 3  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  W  =  <. <. (  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
>. ,  ( normh  |`  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) >. )
1211eleq1d 2536 . 2  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  ( W  e.  NrmCVec  <->  <. <. (  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
>. ,  ( normh  |`  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) >.  e.  NrmCVec ) )
13 eqid 2467 . . 3  |-  <. <. (  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
>. ,  ( normh  |`  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) >.  =  <. <.
(  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
>. ,  ( normh  |`  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) >.
14 h0elsh 25866 . . . 4  |-  0H  e.  SH
1514elimel 4002 . . 3  |-  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  e.  SH
1613, 15hhssnv 25872 . 2  |-  <. <. (  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
>. ,  ( normh  |`  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) >.  e.  NrmCVec
1712, 16dedth 3991 1  |-  ( H  e.  SH  ->  W  e.  NrmCVec )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3939   <.cop 4033    X. cxp 4997    |` cres 5001   CCcc 9489   NrmCVeccnv 25169    +h cva 25529    .h csm 25530   normhcno 25532   SHcsh 25537   0Hc0h 25544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571  ax-hilex 25608  ax-hfvadd 25609  ax-hvcom 25610  ax-hvass 25611  ax-hv0cl 25612  ax-hvaddid 25613  ax-hfvmul 25614  ax-hvmulid 25615  ax-hvmulass 25616  ax-hvdistr1 25617  ax-hvdistr2 25618  ax-hvmul0 25619  ax-hfi 25688  ax-his1 25691  ax-his2 25692  ax-his3 25693  ax-his4 25694
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-icc 11535  df-seq 12075  df-exp 12134  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-topgen 14698  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-lm 19512  df-haus 19598  df-grpo 24885  df-gid 24886  df-ginv 24887  df-gdiv 24888  df-ablo 24976  df-subgo 24996  df-vc 25131  df-nv 25177  df-va 25180  df-ba 25181  df-sm 25182  df-0v 25183  df-vs 25184  df-nmcv 25185  df-ims 25186  df-hnorm 25577  df-hba 25578  df-hvsub 25580  df-hlim 25581  df-sh 25816  df-ch 25831  df-ch0 25863
This theorem is referenced by:  hhsst  25874
  Copyright terms: Public domain W3C validator