HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssnvt Structured version   Unicode version

Theorem hhssnvt 24617
Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssnvt.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
Assertion
Ref Expression
hhssnvt  |-  ( H  e.  SH  ->  W  e.  NrmCVec )

Proof of Theorem hhssnvt
StepHypRef Expression
1 hhssnvt.1 . . . 4  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
2 xpeq1 4849 . . . . . . . 8  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  ( H  X.  H )  =  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  H
) )
3 xpeq2 4850 . . . . . . . 8  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  H )  =  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
42, 3eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  ( H  X.  H )  =  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
54reseq2d 5105 . . . . . 6  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  =  (  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) )
6 xpeq2 4850 . . . . . . 7  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  ( CC  X.  H )  =  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
76reseq2d 5105 . . . . . 6  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  =  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) )
85, 7opeq12d 4062 . . . . 5  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  =  <. (  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) >.
)
9 reseq2 5100 . . . . 5  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  ( normh 
|`  H )  =  ( normh  |`  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )
) )
108, 9opeq12d 4062 . . . 4  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.  =  <. <.
(  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
>. ,  ( normh  |`  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) >. )
111, 10syl5eq 2482 . . 3  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  W  =  <. <. (  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
>. ,  ( normh  |`  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) >. )
1211eleq1d 2504 . 2  |-  ( H  =  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  ->  ( W  e.  NrmCVec  <->  <. <. (  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
>. ,  ( normh  |`  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) >.  e.  NrmCVec ) )
13 eqid 2438 . . 3  |-  <. <. (  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
>. ,  ( normh  |`  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) >.  =  <. <.
(  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
>. ,  ( normh  |`  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) >.
14 h0elsh 24610 . . . 4  |-  0H  e.  SH
1514elimel 3847 . . 3  |-  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  e.  SH
1613, 15hhssnv 24616 . 2  |-  <. <. (  +h  |`  ( if ( H  e.  SH ,  H ,  0H )  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) )
>. ,  ( normh  |`  if ( H  e.  SH ,  H ,  0H ) ) >.  e.  NrmCVec
1712, 16dedth 3836 1  |-  ( H  e.  SH  ->  W  e.  NrmCVec )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3786   <.cop 3878    X. cxp 4833    |` cres 4837   CCcc 9272   NrmCVeccnv 23913    +h cva 24273    .h csm 24274   normhcno 24276   SHcsh 24281   0Hc0h 24288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354  ax-hilex 24352  ax-hfvadd 24353  ax-hvcom 24354  ax-hvass 24355  ax-hv0cl 24356  ax-hvaddid 24357  ax-hfvmul 24358  ax-hvmulid 24359  ax-hvmulass 24360  ax-hvdistr1 24361  ax-hvdistr2 24362  ax-hvmul0 24363  ax-hfi 24432  ax-his1 24435  ax-his2 24436  ax-his3 24437  ax-his4 24438
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-topgen 14374  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-lm 18808  df-haus 18894  df-grpo 23629  df-gid 23630  df-ginv 23631  df-gdiv 23632  df-ablo 23720  df-subgo 23740  df-vc 23875  df-nv 23921  df-va 23924  df-ba 23925  df-sm 23926  df-0v 23927  df-vs 23928  df-nmcv 23929  df-ims 23930  df-hnorm 24321  df-hba 24322  df-hvsub 24324  df-hlim 24325  df-sh 24560  df-ch 24575  df-ch0 24607
This theorem is referenced by:  hhsst  24618
  Copyright terms: Public domain W3C validator