Theorem hhssnv 10767

Description: Normed complex vector space property of a subspace.

Hypotheses

Ref	Expression
hhssnvt.1	|- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
hhssnv.2	|- H e. SH

Assertion

Ref	Expression
hhssnv	|- W e. NrmCVec

Proof of Theorem hhssnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssnv.2	. . . . 5 |- H e. SH
2	1	hhssabli 10765	. . . 4 |- ( +h |` (H X. H)) e. Abel
3		ablgrp 9410	. . . 4 |- (( +h |` (H X. H)) e. Abel -> ( +h |` (H X. H)) e. Grp)
4	2, 3	ax-mp 7	. . 3 |- ( +h |` (H X. H)) e. Grp
5	1	shssii 10714	. . . . . 6 |- H C_ ~H
6		xpss12 4089	. . . . . 6 |- ((H C_ ~H /\ H C_ ~H) -> (H X. H) C_ (~H X. ~H))
7	5, 5, 6	mp2an 761	. . . . 5 |- (H X. H) C_ (~H X. ~H)
8		ax-hfvadd 10502	. . . . . 6 |- +h :(~H X. ~H)-->~H
9	8	fdmi 4568	. . . . 5 |- dom +h = (~H X. ~H)
10	7, 9	sseqtr4i 2650	. . . 4 |- (H X. H) C_ dom +h
11		ssdmres 4235	. . . 4 |- ((H X. H) C_ dom +h <-> dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H))
12	10, 11	mpbi 206	. . 3 |- dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H)
13	4, 12	grprn 9336	. 2 |- H = ran ( +h |` (H X. H))
14		sh0 10717	. . . . . 6 |- (H e. SH -> 0h e. H)
15	1, 14	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0h e. H
16		oprvres 4963	. . . . 5 |- ((0h e. H /\ 0h e. H) -> (0h( +h |` (H X. H))0h) = (0h +h 0h))
17	15, 15, 16	mp2an 761	. . . 4 |- (0h( +h |` (H X. H))0h) = (0h +h 0h)
18		ax-hv0cl 10505	. . . . 5 |- 0h e. ~H
19	18	hvaddid2i 10530	. . . 4 |- (0h +h 0h) = 0h
20	17, 19	eqtri 1908	. . 3 |- (0h( +h |` (H X. H))0h) = 0h
21		eqid 1884	. . . . 5 |- (Id` ( +h |` (H X. H))) = (Id` ( +h |` (H X. H)))
22	13, 21	grpid 9349	. . . 4 |- ((( +h |` (H X. H)) e. Grp /\ 0h e. H) -> (0h = (Id` ( +h |` (H X. H))) <-> (0h( +h |` (H X. H))0h) = 0h))
23	4, 15, 22	mp2an 761	. . 3 |- (0h = (Id` ( +h |` (H X. H))) <-> (0h( +h |` (H X. H))0h) = 0h)
24	20, 23	mpbir 207	. 2 |- 0h = (Id` ( +h |` (H X. H)))
25		df-f 4010	. . . 4 |- (( .h |` (CC X. H)):(CC X. H)-->H <-> (( .h |` (CC X. H)) Fn (CC X. H) /\ ran ( .h |` (CC X. H)) C_ H))
26		ax-hfvmul 10507	. . . . . 6 |- .h :(CC X. ~H)-->~H
27		ffn 4562	. . . . . 6 |- ( .h :(CC X. ~H)-->~H -> .h Fn (CC X. ~H))
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . 5 |- .h Fn (CC X. ~H)
29		ssid 2634	. . . . . 6 |- CC C_ CC
30		xpss12 4089	. . . . . 6 |- ((CC C_ CC /\ H C_ ~H) -> (CC X. H) C_ (CC X. ~H))
31	29, 5, 30	mp2an 761	. . . . 5 |- (CC X. H) C_ (CC X. ~H)
32		fnssres 4526	. . . . 5 |- (( .h Fn (CC X. ~H) /\ (CC X. H) C_ (CC X. ~H)) -> ( .h |` (CC X. H)) Fn (CC X. H))
33	28, 31, 32	mp2an 761	. . . 4 |- ( .h |` (CC X. H)) Fn (CC X. H)
34		oprvelrn 4969	. . . . . . 7 |- (( .h |` (CC X. H)) Fn (CC X. H) -> (z e. ran ( .h |` (CC X. H)) <-> E.x e. CC E.y e. H (x( .h |` (CC X. H))y) = z))
35	33, 34	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (z e. ran ( .h |` (CC X. H)) <-> E.x e. CC E.y e. H (x( .h |` (CC X. H))y) = z)
36		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- ((x( .h |` (CC X. H))y) = z -> ((x( .h |` (CC X. H))y) e. H <-> z e. H))
37		oprvres 4963	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CC /\ y e. H) -> (x( .h |` (CC X. H))y) = (x .h y))
38		shmulcl 10720	. . . . . . . . . 10 |- ((H e. SH /\ x e. CC /\ y e. H) -> (x .h y) e. H)
39	1, 38	mp3an1 1178	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CC /\ y e. H) -> (x .h y) e. H)
40	37, 39	eqeltrd 1971	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ y e. H) -> (x( .h |` (CC X. H))y) e. H)
41	36, 40	syl5cbi 226	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. H) -> ((x( .h |` (CC X. H))y) = z -> z e. H))
42	41	r19.23aivv 2217	. . . . . 6 |- (E.x e. CC E.y e. H (x( .h |` (CC X. H))y) = z -> z e. H)
43	35, 42	sylbi 216	. . . . 5 |- (z e. ran ( .h |` (CC X. H)) -> z e. H)
44	43	ssriv 2621	. . . 4 |- ran ( .h |` (CC X. H)) C_ H
45	25, 33, 44	mpbir2an 800	. . 3 |- ( .h |` (CC X. H)):(CC X. H)-->H
46		ax1cn 6422	. . . . 5 |- 1 e. CC
47		oprvres 4963	. . . . 5 |- ((1 e. CC /\ x e. H) -> (1( .h |` (CC X. H))x) = (1 .h x))
48	46, 47	mpan 759	. . . 4 |- (x e. H -> (1( .h |` (CC X. H))x) = (1 .h x))
49	1	sheli 10715	. . . . 5 |- (x e. H -> x e. ~H)
50		ax-hvmulid 10508	. . . . 5 |- (x e. ~H -> (1 .h x) = x)
51	49, 50	syl 12	. . . 4 |- (x e. H -> (1 .h x) = x)
52	48, 51	eqtrd 1925	. . 3 |- (x e. H -> (1( .h |` (CC X. H))x) = x)
53		ax-hvdistr1 10510	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ x e. ~H /\ z e. ~H) -> (y .h (x +h z)) = ((y .h x) +h (y .h z)))
54		id 73	. . . . 5 |- (y e. CC -> y e. CC)
55	1	sheli 10715	. . . . 5 |- (z e. H -> z e. ~H)
56	53, 54, 49, 55	syl3an 1139	. . . 4 |- ((y e. CC /\ x e. H /\ z e. H) -> (y .h (x +h z)) = ((y .h x) +h (y .h z)))
57		oprvres 4963	. . . . . . 7 |- ((x e. H /\ z e. H) -> (x( +h |` (H X. H))z) = (x +h z))
58	57	3adant1 894	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ x e. H /\ z e. H) -> (x( +h |` (H X. H))z) = (x +h z))
59	58	opreq2d 4898	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ x e. H /\ z e. H) -> (y( .h |` (CC X. H))(x( +h |` (H X. H))z)) = (y( .h |` (CC X. H))(x +h z)))
60		oprvres 4963	. . . . . . 7 |- ((y e. CC /\ (x +h z) e. H) -> (y( .h |` (CC X. H))(x +h z)) = (y .h (x +h z)))
61		shaddcl 10718	. . . . . . . 8 |- ((H e. SH /\ x e. H /\ z e. H) -> (x +h z) e. H)
62	1, 61	mp3an1 1178	. . . . . . 7 |- ((x e. H /\ z e. H) -> (x +h z) e. H)
63	60, 62	sylan2 500	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ (x e. H /\ z e. H)) -> (y( .h |` (CC X. H))(x +h z)) = (y .h (x +h z)))
64	63	3impb 1063	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ x e. H /\ z e. H) -> (y( .h |` (CC X. H))(x +h z)) = (y .h (x +h z)))
65	59, 64	eqtrd 1925	. . . 4 |- ((y e. CC /\ x e. H /\ z e. H) -> (y( .h |` (CC X. H))(x( +h |` (H X. H))z)) = (y .h (x +h z)))
66		oprvres 4963	. . . . . . 7 |- ((y e. CC /\ x e. H) -> (y( .h |` (CC X. H))x) = (y .h x))
67	66	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ x e. H /\ z e. H) -> (y( .h |` (CC X. H))x) = (y .h x))
68		oprvres 4963	. . . . . . 7 |- ((y e. CC /\ z e. H) -> (y( .h |` (CC X. H))z) = (y .h z))
69	68	3adant2 895	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ x e. H /\ z e. H) -> (y( .h |` (CC X. H))z) = (y .h z))
70	67, 69	opreq12d 4900	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ x e. H /\ z e. H) -> ((y( .h |` (CC X. H))x)( +h |` (H X. H))(y( .h |` (CC X. H))z)) = ((y .h x)( +h |` (H X. H))(y .h z)))
71		shmulcl 10720	. . . . . . . 8 |- ((H e. SH /\ y e. CC /\ x e. H) -> (y .h x) e. H)
72	1, 71	mp3an1 1178	. . . . . . 7 |- ((y e. CC /\ x e. H) -> (y .h x) e. H)
73	72	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ x e. H /\ z e. H) -> (y .h x) e. H)
74		shmulcl 10720	. . . . . . . 8 |- ((H e. SH /\ y e. CC /\ z e. H) -> (y .h z) e. H)
75	1, 74	mp3an1 1178	. . . . . . 7 |- ((y e. CC /\ z e. H) -> (y .h z) e. H)
76	75	3adant2 895	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ x e. H /\ z e. H) -> (y .h z) e. H)
77		oprvres 4963	. . . . . 6 |- (((y .h x) e. H /\ (y .h z) e. H) -> ((y .h x)( +h |` (H X. H))(y .h z)) = ((y .h x) +h (y .h z)))
78	73, 76, 77	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ x e. H /\ z e. H) -> ((y .h x)( +h |` (H X. H))(y .h z)) = ((y .h x) +h (y .h z)))
79	70, 78	eqtrd 1925	. . . 4 |- ((y e. CC /\ x e. H /\ z e. H) -> ((y( .h |` (CC X. H))x)( +h |` (H X. H))(y( .h |` (CC X. H))z)) = ((y .h x) +h (y .h z)))
80	56, 65, 79	3eqtr4d 1937	. . 3 |- ((y e. CC /\ x e. H /\ z e. H) -> (y( .h |` (CC X. H))(x( +h |` (H X. H))z)) = ((y( .h |` (CC X. H))x)( +h |` (H X. H))(y( .h |` (CC X. H))z)))
81		ax-hvdistr2 10511	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. ~H) -> ((y + z) .h x) = ((y .h x) +h (z .h x)))
82	81, 49	syl3an3 1132	. . . 4 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> ((y + z) .h x) = ((y .h x) +h (z .h x)))
83		oprvres 4963	. . . . . 6 |- (((y + z) e. CC /\ x e. H) -> ((y + z)( .h |` (CC X. H))x) = ((y + z) .h x))
84		addcl 6454	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ z e. CC) -> (y + z) e. CC)
85	83, 84	sylan 497	. . . . 5 |- (((y e. CC /\ z e. CC) /\ x e. H) -> ((y + z)( .h |` (CC X. H))x) = ((y + z) .h x))
86	85	3impa 1062	. . . 4 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> ((y + z)( .h |` (CC X. H))x) = ((y + z) .h x))
87	66	3adant2 895	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> (y( .h |` (CC X. H))x) = (y .h x))
88		oprvres 4963	. . . . . . 7 |- ((z e. CC /\ x e. H) -> (z( .h |` (CC X. H))x) = (z .h x))
89	88	3adant1 894	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> (z( .h |` (CC X. H))x) = (z .h x))
90	87, 89	opreq12d 4900	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> ((y( .h |` (CC X. H))x)( +h |` (H X. H))(z( .h |` (CC X. H))x)) = ((y .h x)( +h |` (H X. H))(z .h x)))
91	72	3adant2 895	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> (y .h x) e. H)
92		shmulcl 10720	. . . . . . . 8 |- ((H e. SH /\ z e. CC /\ x e. H) -> (z .h x) e. H)
93	1, 92	mp3an1 1178	. . . . . . 7 |- ((z e. CC /\ x e. H) -> (z .h x) e. H)
94	93	3adant1 894	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> (z .h x) e. H)
95		oprvres 4963	. . . . . 6 |- (((y .h x) e. H /\ (z .h x) e. H) -> ((y .h x)( +h |` (H X. H))(z .h x)) = ((y .h x) +h (z .h x)))
96	91, 94, 95	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> ((y .h x)( +h |` (H X. H))(z .h x)) = ((y .h x) +h (z .h x)))
97	90, 96	eqtrd 1925	. . . 4 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> ((y( .h |` (CC X. H))x)( +h |` (H X. H))(z( .h |` (CC X. H))x)) = ((y .h x) +h (z .h x)))
98	82, 86, 97	3eqtr4d 1937	. . 3 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> ((y + z)( .h |` (CC X. H))x) = ((y( .h |` (CC X. H))x)( +h |` (H X. H))(z( .h |` (CC X. H))x)))
99		ax-hvmulass 10509	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. ~H) -> ((y x. z) .h x) = (y .h (z .h x)))
100	99, 49	syl3an3 1132	. . . 4 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> ((y x. z) .h x) = (y .h (z .h x)))
101		oprvres 4963	. . . . . 6 |- (((y x. z) e. CC /\ x e. H) -> ((y x. z)( .h |` (CC X. H))x) = ((y x. z) .h x))
102		mulcl 6456	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ z e. CC) -> (y x. z) e. CC)
103	101, 102	sylan 497	. . . . 5 |- (((y e. CC /\ z e. CC) /\ x e. H) -> ((y x. z)( .h |` (CC X. H))x) = ((y x. z) .h x))
104	103	3impa 1062	. . . 4 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> ((y x. z)( .h |` (CC X. H))x) = ((y x. z) .h x))
105	89	opreq2d 4898	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> (y( .h |` (CC X. H))(z( .h |` (CC X. H))x)) = (y( .h |` (CC X. H))(z .h x)))
106		oprvres 4963	. . . . . . 7 |- ((y e. CC /\ (z .h x) e. H) -> (y( .h |` (CC X. H))(z .h x)) = (y .h (z .h x)))
107	106, 93	sylan2 500	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ (z e. CC /\ x e. H)) -> (y( .h |` (CC X. H))(z .h x)) = (y .h (z .h x)))
108	107	3impb 1063	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> (y( .h |` (CC X. H))(z .h x)) = (y .h (z .h x)))
109	105, 108	eqtrd 1925	. . . 4 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> (y( .h |` (CC X. H))(z( .h |` (CC X. H))x)) = (y .h (z .h x)))
110	100, 104, 109	3eqtr4d 1937	. . 3 |- ((y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H) -> ((y x. z)( .h |` (CC X. H))x) = (y( .h |` (CC X. H))(z( .h |` (CC X. H))x)))
111		eqid 1884	. . 3 |- <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>. = <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.
112	2, 12, 45, 52, 80, 98, 110, 111	isvci 9533	. 2 |- <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>. e. CVec
113		normf 10622	. . 3 |- normh:~H-->RR
114		fssres 4582	. . 3 |- ((normh:~H-->RR /\ H C_ ~H) -> (normh |` H):H-->RR)
115	113, 5, 114	mp2an 761	. 2 |- (normh |` H):H-->RR
116		fvres 4691	. . . . 5 |- (x e. H -> ((normh |` H)` x) = (normh` x))
117	116	eqeq1d 1892	. . . 4 |- (x e. H -> (((normh |` H)` x) = 0 <-> (normh` x) = 0))
118		norm-i 10629	. . . . 5 |- (x e. ~H -> ((normh` x) = 0 <-> x = 0h))
119	49, 118	syl 12	. . . 4 |- (x e. H -> ((normh` x) = 0 <-> x = 0h))
120	117, 119	bitrd 587	. . 3 |- (x e. H -> (((normh |` H)` x) = 0 <-> x = 0h))
121	120	biimpa 460	. 2 |- ((x e. H /\ ((normh |` H)` x) = 0) -> x = 0h)
122		norm-iii 10640	. . . 4 |- ((y e. CC /\ x e. ~H) -> (normh` (y .h x)) = ((abs` y) x. (normh` x)))
123	122, 49	sylan2 500	. . 3 |- ((y e. CC /\ x e. H) -> (normh` (y .h x)) = ((abs` y) x. (normh` x)))
124	66	fveq2d 4685	. . . 4 |- ((y e. CC /\ x e. H) -> ((normh |` H)` (y( .h |` (CC X. H))x)) = ((normh |` H)` (y .h x)))
125		fvres 4691	. . . . 5 |- ((y .h x) e. H -> ((normh |` H)` (y .h x)) = (normh` (y .h x)))
126	72, 125	syl 12	. . . 4 |- ((y e. CC /\ x e. H) -> ((normh |` H)` (y .h x)) = (normh` (y .h x)))
127	124, 126	eqtrd 1925	. . 3 |- ((y e. CC /\ x e. H) -> ((normh |` H)` (y( .h |` (CC X. H))x)) = (normh` (y .h x)))
128	116	adantl 424	. . . 4 |- ((y e. CC /\ x e. H) -> ((normh |` H)` x) = (normh` x))
129	128	opreq2d 4898	. . 3 |- ((y e. CC /\ x e. H) -> ((abs` y) x. ((normh |` H)` x)) = ((abs` y) x. (normh` x)))
130	123, 127, 129	3eqtr4d 1937	. 2 |- ((y e. CC /\ x e. H) -> ((normh |` H)` (y( .h |` (CC X. H))x)) = ((abs` y) x. ((normh |` H)` x)))
131		norm-ii 10638	. . . 4 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (normh` (x +h y)) <_ ((normh` x) + (normh` y)))
132	1	sheli 10715	. . . 4 |- (y e. H -> y e. ~H)
133	131, 49, 132	syl2an 503	. . 3 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (normh` (x +h y)) <_ ((normh` x) + (normh` y)))
134		oprvres 4963	. . . . 5 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x( +h |` (H X. H))y) = (x +h y))
135	134	fveq2d 4685	. . . 4 |- ((x e. H /\ y e. H) -> ((normh |` H)` (x( +h |` (H X. H))y)) = ((normh |` H)` (x +h y)))
136		shaddcl 10718	. . . . . 6 |- ((H e. SH /\ x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) e. H)
137	1, 136	mp3an1 1178	. . . . 5 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) e. H)
138		fvres 4691	. . . . 5 |- ((x +h y) e. H -> ((normh |` H)` (x +h y)) = (normh` (x +h y)))
139	137, 138	syl 12	. . . 4 |- ((x e. H /\ y e. H) -> ((normh |` H)` (x +h y)) = (normh` (x +h y)))
140	135, 139	eqtrd 1925	. . 3 |- ((x e. H /\ y e. H) -> ((normh |` H)` (x( +h |` (H X. H))y)) = (normh` (x +h y)))
141		fvres 4691	. . . 4 |- (y e. H -> ((normh |` H)` y) = (normh` y))
142	116, 141	opreqan12d 4902	. . 3 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (((normh |` H)` x) + ((normh |` H)` y)) = ((normh` x) + (normh` y)))
143	133, 140, 142	3brtr4d 3367	. 2 |- ((x e. H /\ y e. H) -> ((normh |` H)` (x( +h |` (H X. H))y)) <_ (((normh |` H)` x) + ((normh |` H)` y)))
144		hhssnvt.1	. 2 |- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
145	13, 24, 112, 115, 121, 130, 143, 144	isnvi 9564	1 |- W e. NrmCVec

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   C_ wss 2593  <.cop 3046   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ran crn 3987   |` cres 3988   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   <_ cle 6448  abscabs 8000  Grpcgr 9311  Idcgi 9312  Abelcabl 9407  NrmCVeccnv 9535  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  0hc0v 10423  normhcno 10426  SHcsh 10429

This theorem is referenced by:  hhssnvt 10768  hhssvsf 10776  hhssims 10778  hhssmet 10780  hhssmetba 10781  hhssmetdval 10782  hhssbn 10784

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-subg 9424  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-sh 10709

Copyright terms: Public domain