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Theorem hhssnv 26306
Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 26-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssnvt.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
hhssnv.2  |-  H  e.  SH
Assertion
Ref Expression
hhssnv  |-  W  e.  NrmCVec

Proof of Theorem hhssnv
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssnv.2 . . . . 5  |-  H  e.  SH
21hhssabloi 26304 . . . 4  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  AbelOp
3 ablogrpo 25412 . . . 4  |-  ( (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e. 
AbelOp  ->  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e.  GrpOp )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  GrpOp
51shssii 26256 . . . . . 6  |-  H  C_  ~H
6 xpss12 5117 . . . . . 6  |-  ( ( H  C_  ~H  /\  H  C_ 
~H )  ->  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)
75, 5, 6mp2an 672 . . . . 5  |-  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
8 ax-hfvadd 26043 . . . . . 6  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
98fdmi 5742 . . . . 5  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
107, 9sseqtr4i 3532 . . . 4  |-  ( H  X.  H )  C_  dom  +h
11 ssdmres 5305 . . . 4  |-  ( ( H  X.  H ) 
C_  dom  +h  <->  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( H  X.  H ) )
1210, 11mpbi 208 . . 3  |-  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  =  ( H  X.  H
)
134, 12grporn 25340 . 2  |-  H  =  ran  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
14 sh0 26259 . . . . . 6  |-  ( H  e.  SH  ->  0h  e.  H )
151, 14ax-mp 5 . . . . 5  |-  0h  e.  H
16 ovres 6441 . . . . 5  |-  ( ( 0h  e.  H  /\  0h  e.  H )  -> 
( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) 0h )  =  ( 0h  +h  0h ) )
1715, 15, 16mp2an 672 . . . 4  |-  ( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) 0h )  =  ( 0h  +h  0h )
18 ax-hv0cl 26046 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
1918hvaddid2i 26072 . . . 4  |-  ( 0h 
+h  0h )  =  0h
2017, 19eqtri 2486 . . 3  |-  ( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) 0h )  =  0h
21 eqid 2457 . . . . 5  |-  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )
2213, 21grpoid 25351 . . . 4  |-  ( ( (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e.  GrpOp  /\  0h  e.  H )  ->  ( 0h  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )  <-> 
( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) 0h )  =  0h ) )
234, 15, 22mp2an 672 . . 3  |-  ( 0h  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )  <-> 
( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) 0h )  =  0h )
2420, 23mpbir 209 . 2  |-  0h  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )
25 ax-hfvmul 26048 . . . . . 6  |-  .h  :
( CC  X.  ~H )
--> ~H
26 ffn 5737 . . . . . 6  |-  (  .h  : ( CC  X.  ~H ) --> ~H  ->  .h  Fn  ( CC  X.  ~H )
)
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5  |-  .h  Fn  ( CC  X.  ~H )
28 ssid 3518 . . . . . 6  |-  CC  C_  CC
29 xpss12 5117 . . . . . 6  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  H  C_ 
~H )  ->  ( CC  X.  H )  C_  ( CC  X.  ~H )
)
3028, 5, 29mp2an 672 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  H )  C_  ( CC  X.  ~H )
31 fnssres 5700 . . . . 5  |-  ( (  .h  Fn  ( CC 
X.  ~H )  /\  ( CC  X.  H )  C_  ( CC  X.  ~H )
)  ->  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  Fn  ( CC  X.  H ) )
3227, 30, 31mp2an 672 . . . 4  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  Fn  ( CC  X.  H )
33 ovelrn 6450 . . . . . . 7  |-  ( (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  Fn  ( CC  X.  H
)  ->  ( z  e.  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  <->  E. x  e.  CC  E. y  e.  H  z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y ) ) )
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  <->  E. x  e.  CC  E. y  e.  H  z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y ) )
35 ovres 6441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) y )  =  ( x  .h  y ) )
36 shmulcl 26261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  SH  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  (
x  .h  y )  e.  H )
371, 36mp3an1 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  H )
3835, 37eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) y )  e.  H )
39 eleq1 2529 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  ->  ( z  e.  H  <->  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  e.  H ) )
4038, 39syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  ->  z  e.  H ) )
4140rexlimivv 2954 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  CC  E. y  e.  H  z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  ->  z  e.  H )
4234, 41sylbi 195 . . . . 5  |-  ( z  e.  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  ->  z  e.  H )
4342ssriv 3503 . . . 4  |-  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  C_  H
44 df-f 5598 . . . 4  |-  ( (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) : ( CC  X.  H
) --> H  <->  ( (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  Fn  ( CC  X.  H
)  /\  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  C_  H
) )
4532, 43, 44mpbir2an 920 . . 3  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) : ( CC  X.  H ) --> H
46 ax-1cn 9567 . . . . 5  |-  1  e.  CC
47 ovres 6441 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( 1 (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( 1  .h  x ) )
4846, 47mpan 670 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
1 (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( 1  .h  x ) )
491sheli 26257 . . . . 5  |-  ( x  e.  H  ->  x  e.  ~H )
50 ax-hvmulid 26049 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
5149, 50syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
5248, 51eqtrd 2498 . . 3  |-  ( x  e.  H  ->  (
1 (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  x )
53 id 22 . . . . 5  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
541sheli 26257 . . . . 5  |-  ( z  e.  H  ->  z  e.  ~H )
55 ax-hvdistr1 26051 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
y  .h  ( x  +h  z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z
) ) )
5653, 49, 54, 55syl3an 1270 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  (
x  +h  z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z ) ) )
57 ovres 6441 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) z )  =  ( x  +h  z ) )
58573adant1 1014 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) z )  =  ( x  +h  z ) )
5958oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) z ) )  =  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x  +h  z ) ) )
60 shaddcl 26260 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x  +h  z
)  e.  H )
611, 60mp3an1 1311 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x  +h  z
)  e.  H )
62 ovres 6441 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( x  +h  z
)  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( x  +h  z ) )  =  ( y  .h  ( x  +h  z ) ) )
6361, 62sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( x  e.  H  /\  z  e.  H
) )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( x  +h  z
) )  =  ( y  .h  ( x  +h  z ) ) )
64633impb 1192 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x  +h  z ) )  =  ( y  .h  ( x  +h  z
) ) )
6559, 64eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) z ) )  =  ( y  .h  (
x  +h  z ) ) )
66 ovres 6441 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( y  .h  x ) )
67663adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( y  .h  x ) )
68 ovres 6441 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z )  =  ( y  .h  z ) )
69683adant2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z )  =  ( y  .h  z ) )
7067, 69oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z ) )  =  ( ( y  .h  x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y  .h  z
) ) )
71 shmulcl 26261 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y  .h  x )  e.  H )
721, 71mp3an1 1311 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( y  .h  x
)  e.  H )
73723adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  x
)  e.  H )
74 shmulcl 26261 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  (
y  .h  z )  e.  H )
751, 74mp3an1 1311 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  z
)  e.  H )
76753adant2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  z
)  e.  H )
7773, 76ovresd 6442 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( ( y  .h  x ) (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) ( y  .h  z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z
) ) )
7870, 77eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z ) ) )
7956, 65, 783eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) z ) )  =  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z ) ) )
80 ax-hvdistr2 26052 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  +  z )  .h  x )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( z  .h  x
) ) )
8149, 80syl3an3 1263 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  +  z )  .h  x )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( z  .h  x
) ) )
82 addcl 9591 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y  +  z )  e.  CC )
83 ovres 6441 . . . . 5  |-  ( ( ( y  +  z )  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( y  +  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( ( y  +  z )  .h  x ) )
8482, 83stoic3 1610 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  +  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y  +  z )  .h  x ) )
85663adant2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( y  .h  x ) )
86 ovres 6441 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( z  .h  x ) )
87863adant1 1014 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
z (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( z  .h  x ) )
8885, 87oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( ( y  .h  x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z  .h  x
) ) )
89723adant2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y  .h  x )  e.  H )
90 shmulcl 26261 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
z  .h  x )  e.  H )
911, 90mp3an1 1311 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( z  .h  x
)  e.  H )
92913adant1 1014 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
z  .h  x )  e.  H )
9389, 92ovresd 6442 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  .h  x
) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z  .h  x
) )  =  ( ( y  .h  x
)  +h  ( z  .h  x ) ) )
9488, 93eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( z  .h  x ) ) )
9581, 84, 943eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  +  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) ) )
96 ax-hvmulass 26050 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  x.  z
)  .h  x )  =  ( y  .h  ( z  .h  x
) ) )
9749, 96syl3an3 1263 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  x.  z
)  .h  x )  =  ( y  .h  ( z  .h  x
) ) )
98 mulcl 9593 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y  x.  z
)  e.  CC )
99 ovres 6441 . . . . 5  |-  ( ( ( y  x.  z
)  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( y  x.  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( ( y  x.  z )  .h  x ) )
10098, 99stoic3 1610 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  x.  z
) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y  x.  z
)  .h  x ) )
10187oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x
) ) )
102 ovres 6441 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( z  .h  x
)  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x ) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
10391, 102sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( z  e.  CC  /\  x  e.  H ) )  ->  ( y
(  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x
) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
1041033impb 1192 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x
) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
105101, 104eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
10697, 100, 1053eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  x.  z
) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) ) )
107 eqid 2457 . . 3  |-  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  =  <. (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) >.
1082, 12, 45, 52, 79, 95, 106, 107isvci 25601 . 2  |-  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  e.  CVecOLD
109 normf 26166 . . 3  |-  normh : ~H --> RR
110 fssres 5757 . . 3  |-  ( (
normh : ~H --> RR  /\  H  C_  ~H )  -> 
( normh  |`  H ) : H --> RR )
111109, 5, 110mp2an 672 . 2  |-  ( normh  |`  H ) : H --> RR
112 fvres 5886 . . . . 5  |-  ( x  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  x )  =  (
normh `  x ) )
113112eqeq1d 2459 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  0  <->  ( normh `  x
)  =  0 ) )
114 norm-i 26172 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
11549, 114syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
( normh `  x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
116113, 115bitrd 253 . . 3  |-  ( x  e.  H  ->  (
( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
117116biimpa 484 . 2  |-  ( ( x  e.  H  /\  ( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  0 )  ->  x  =  0h )
118 norm-iii 26183 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( y  .h  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
11949, 118sylan2 474 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( normh `  ( y  .h  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
12066fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) )  =  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y  .h  x ) ) )
121 fvres 5886 . . . . 5  |-  ( ( y  .h  x )  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  ( y  .h  x
) )  =  (
normh `  ( y  .h  x ) ) )
12272, 121syl 16 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y  .h  x ) )  =  ( normh `  ( y  .h  x ) ) )
123120, 122eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) )  =  (
normh `  ( y  .h  x ) ) )
124112adantl 466 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  ( normh `  x )
)
125124oveq2d 6312 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( abs `  y
)  x.  ( (
normh  |`  H ) `  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
126119, 123, 1253eqtr4d 2508 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( (
normh  |`  H ) `  x ) ) )
1271sheli 26257 . . . 4  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
128 norm-ii 26181 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  <_ 
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
12949, 127, 128syl2an 477 . . 3  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  <_ 
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
130 ovres 6441 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) y )  =  ( x  +h  y ) )
131130fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) y ) )  =  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x  +h  y ) ) )
132 shaddcl 26260 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  SH  /\  x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  H )
1331, 132mp3an1 1311 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  H )
134 fvres 5886 . . . . 5  |-  ( ( x  +h  y )  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  ( x  +h  y
) )  =  (
normh `  ( x  +h  y ) ) )
135133, 134syl 16 . . . 4  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )
136131, 135eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) y ) )  =  (
normh `  ( x  +h  y ) ) )
137 fvres 5886 . . . 4  |-  ( y  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  y )  =  (
normh `  y ) )
138112, 137oveqan12d 6315 . . 3  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( ( normh  |`  H ) `  x
)  +  ( (
normh  |`  H ) `  y ) )  =  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
139129, 136, 1383brtr4d 4486 . 2  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) y ) )  <_  (
( ( normh  |`  H ) `
 x )  +  ( ( normh  |`  H ) `
 y ) ) )
140 hhssnvt.1 . 2  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
14113, 24, 108, 111, 117, 126, 139, 140isnvi 25632 1  |-  W  e.  NrmCVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808    C_ wss 3471   <.cop 4038   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    <_ cle 9646   abscabs 13078   GrpOpcgr 25314  GIdcgi 25315   AbelOpcablo 25409   NrmCVeccnv 25603   ~Hchil 25962    +h cva 25963    .h csm 25964   normhcno 25966   0hc0v 25967   SHcsh 25971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-hilex 26042  ax-hfvadd 26043  ax-hvcom 26044  ax-hvass 26045  ax-hv0cl 26046  ax-hvaddid 26047  ax-hfvmul 26048  ax-hvmulid 26049  ax-hvmulass 26050  ax-hvdistr1 26051  ax-hvdistr2 26052  ax-hvmul0 26053  ax-hfi 26122  ax-his1 26125  ax-his2 26126  ax-his3 26127  ax-his4 26128
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-grpo 25319  df-gid 25320  df-ginv 25321  df-ablo 25410  df-subgo 25430  df-vc 25565  df-nv 25611  df-va 25614  df-ba 25615  df-sm 25616  df-0v 25617  df-nmcv 25619  df-hnorm 26011  df-hba 26012  df-hvsub 26014  df-sh 26250
This theorem is referenced by:  hhssnvt  26307  hhssvsf  26315  hhssims  26317  hhssmet  26319  hhssmetdval  26320  hhssbn  26322
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