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Theorem hhssnv 24616
Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 26-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssnvt.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
hhssnv.2  |-  H  e.  SH
Assertion
Ref Expression
hhssnv  |-  W  e.  NrmCVec

Proof of Theorem hhssnv
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssnv.2 . . . . 5  |-  H  e.  SH
21hhssabloi 24614 . . . 4  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  AbelOp
3 ablogrpo 23722 . . . 4  |-  ( (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e. 
AbelOp  ->  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e.  GrpOp )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  GrpOp
51shssii 24566 . . . . . 6  |-  H  C_  ~H
6 xpss12 4940 . . . . . 6  |-  ( ( H  C_  ~H  /\  H  C_ 
~H )  ->  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)
75, 5, 6mp2an 672 . . . . 5  |-  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
8 ax-hfvadd 24353 . . . . . 6  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
98fdmi 5559 . . . . 5  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
107, 9sseqtr4i 3384 . . . 4  |-  ( H  X.  H )  C_  dom  +h
11 ssdmres 5127 . . . 4  |-  ( ( H  X.  H ) 
C_  dom  +h  <->  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( H  X.  H ) )
1210, 11mpbi 208 . . 3  |-  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  =  ( H  X.  H
)
134, 12grporn 23650 . 2  |-  H  =  ran  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
14 sh0 24569 . . . . . 6  |-  ( H  e.  SH  ->  0h  e.  H )
151, 14ax-mp 5 . . . . 5  |-  0h  e.  H
16 ovres 6225 . . . . 5  |-  ( ( 0h  e.  H  /\  0h  e.  H )  -> 
( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) 0h )  =  ( 0h  +h  0h ) )
1715, 15, 16mp2an 672 . . . 4  |-  ( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) 0h )  =  ( 0h  +h  0h )
18 ax-hv0cl 24356 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
1918hvaddid2i 24382 . . . 4  |-  ( 0h 
+h  0h )  =  0h
2017, 19eqtri 2458 . . 3  |-  ( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) 0h )  =  0h
21 eqid 2438 . . . . 5  |-  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )
2213, 21grpoid 23661 . . . 4  |-  ( ( (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e.  GrpOp  /\  0h  e.  H )  ->  ( 0h  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )  <-> 
( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) 0h )  =  0h ) )
234, 15, 22mp2an 672 . . 3  |-  ( 0h  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )  <-> 
( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) 0h )  =  0h )
2420, 23mpbir 209 . 2  |-  0h  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )
25 ax-hfvmul 24358 . . . . . 6  |-  .h  :
( CC  X.  ~H )
--> ~H
26 ffn 5554 . . . . . 6  |-  (  .h  : ( CC  X.  ~H ) --> ~H  ->  .h  Fn  ( CC  X.  ~H )
)
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5  |-  .h  Fn  ( CC  X.  ~H )
28 ssid 3370 . . . . . 6  |-  CC  C_  CC
29 xpss12 4940 . . . . . 6  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  H  C_ 
~H )  ->  ( CC  X.  H )  C_  ( CC  X.  ~H )
)
3028, 5, 29mp2an 672 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  H )  C_  ( CC  X.  ~H )
31 fnssres 5519 . . . . 5  |-  ( (  .h  Fn  ( CC 
X.  ~H )  /\  ( CC  X.  H )  C_  ( CC  X.  ~H )
)  ->  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  Fn  ( CC  X.  H ) )
3227, 30, 31mp2an 672 . . . 4  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  Fn  ( CC  X.  H )
33 ovelrn 6234 . . . . . . 7  |-  ( (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  Fn  ( CC  X.  H
)  ->  ( z  e.  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  <->  E. x  e.  CC  E. y  e.  H  z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y ) ) )
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  <->  E. x  e.  CC  E. y  e.  H  z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y ) )
35 ovres 6225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) y )  =  ( x  .h  y ) )
36 shmulcl 24571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  SH  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  (
x  .h  y )  e.  H )
371, 36mp3an1 1301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  H )
3835, 37eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) y )  e.  H )
39 eleq1 2498 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  ->  ( z  e.  H  <->  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  e.  H ) )
4038, 39syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  ->  z  e.  H ) )
4140rexlimivv 2841 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  CC  E. y  e.  H  z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  ->  z  e.  H )
4234, 41sylbi 195 . . . . 5  |-  ( z  e.  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  ->  z  e.  H )
4342ssriv 3355 . . . 4  |-  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  C_  H
44 df-f 5417 . . . 4  |-  ( (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) : ( CC  X.  H
) --> H  <->  ( (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  Fn  ( CC  X.  H
)  /\  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  C_  H
) )
4532, 43, 44mpbir2an 911 . . 3  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) : ( CC  X.  H ) --> H
46 ax-1cn 9332 . . . . 5  |-  1  e.  CC
47 ovres 6225 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( 1 (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( 1  .h  x ) )
4846, 47mpan 670 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
1 (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( 1  .h  x ) )
491sheli 24567 . . . . 5  |-  ( x  e.  H  ->  x  e.  ~H )
50 ax-hvmulid 24359 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
5149, 50syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
5248, 51eqtrd 2470 . . 3  |-  ( x  e.  H  ->  (
1 (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  x )
53 id 22 . . . . 5  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
541sheli 24567 . . . . 5  |-  ( z  e.  H  ->  z  e.  ~H )
55 ax-hvdistr1 24361 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
y  .h  ( x  +h  z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z
) ) )
5653, 49, 54, 55syl3an 1260 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  (
x  +h  z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z ) ) )
57 ovres 6225 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) z )  =  ( x  +h  z ) )
58573adant1 1006 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) z )  =  ( x  +h  z ) )
5958oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) z ) )  =  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x  +h  z ) ) )
60 shaddcl 24570 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x  +h  z
)  e.  H )
611, 60mp3an1 1301 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x  +h  z
)  e.  H )
62 ovres 6225 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( x  +h  z
)  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( x  +h  z ) )  =  ( y  .h  ( x  +h  z ) ) )
6361, 62sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( x  e.  H  /\  z  e.  H
) )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( x  +h  z
) )  =  ( y  .h  ( x  +h  z ) ) )
64633impb 1183 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x  +h  z ) )  =  ( y  .h  ( x  +h  z
) ) )
6559, 64eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) z ) )  =  ( y  .h  (
x  +h  z ) ) )
66 ovres 6225 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( y  .h  x ) )
67663adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( y  .h  x ) )
68 ovres 6225 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z )  =  ( y  .h  z ) )
69683adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z )  =  ( y  .h  z ) )
7067, 69oveq12d 6104 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z ) )  =  ( ( y  .h  x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y  .h  z
) ) )
71 shmulcl 24571 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y  .h  x )  e.  H )
721, 71mp3an1 1301 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( y  .h  x
)  e.  H )
73723adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  x
)  e.  H )
74 shmulcl 24571 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  (
y  .h  z )  e.  H )
751, 74mp3an1 1301 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  z
)  e.  H )
76753adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  z
)  e.  H )
7773, 76ovresd 6226 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( ( y  .h  x ) (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) ( y  .h  z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z
) ) )
7870, 77eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z ) ) )
7956, 65, 783eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) z ) )  =  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z ) ) )
80 ax-hvdistr2 24362 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  +  z )  .h  x )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( z  .h  x
) ) )
8149, 80syl3an3 1253 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  +  z )  .h  x )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( z  .h  x
) ) )
82 addcl 9356 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y  +  z )  e.  CC )
83 ovres 6225 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  +  z )  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( y  +  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( ( y  +  z )  .h  x ) )
8482, 83sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  H
)  ->  ( (
y  +  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y  +  z )  .h  x ) )
85843impa 1182 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  +  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y  +  z )  .h  x ) )
86663adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( y  .h  x ) )
87 ovres 6225 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( z  .h  x ) )
88873adant1 1006 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
z (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( z  .h  x ) )
8986, 88oveq12d 6104 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( ( y  .h  x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z  .h  x
) ) )
90723adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y  .h  x )  e.  H )
91 shmulcl 24571 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
z  .h  x )  e.  H )
921, 91mp3an1 1301 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( z  .h  x
)  e.  H )
93923adant1 1006 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
z  .h  x )  e.  H )
9490, 93ovresd 6226 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  .h  x
) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z  .h  x
) )  =  ( ( y  .h  x
)  +h  ( z  .h  x ) ) )
9589, 94eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( z  .h  x ) ) )
9681, 85, 953eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  +  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) ) )
97 ax-hvmulass 24360 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  x.  z
)  .h  x )  =  ( y  .h  ( z  .h  x
) ) )
9849, 97syl3an3 1253 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  x.  z
)  .h  x )  =  ( y  .h  ( z  .h  x
) ) )
99 mulcl 9358 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y  x.  z
)  e.  CC )
100 ovres 6225 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  x.  z
)  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( y  x.  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( ( y  x.  z )  .h  x ) )
10199, 100sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  H
)  ->  ( (
y  x.  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y  x.  z
)  .h  x ) )
1021013impa 1182 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  x.  z
) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y  x.  z
)  .h  x ) )
10388oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x
) ) )
104 ovres 6225 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( z  .h  x
)  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x ) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
10592, 104sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( z  e.  CC  /\  x  e.  H ) )  ->  ( y
(  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x
) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
1061053impb 1183 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x
) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
107103, 106eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
10898, 102, 1073eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  x.  z
) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) ) )
109 eqid 2438 . . 3  |-  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  =  <. (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) >.
1102, 12, 45, 52, 79, 96, 108, 109isvci 23911 . 2  |-  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  e.  CVecOLD
111 normf 24476 . . 3  |-  normh : ~H --> RR
112 fssres 5573 . . 3  |-  ( (
normh : ~H --> RR  /\  H  C_  ~H )  -> 
( normh  |`  H ) : H --> RR )
113111, 5, 112mp2an 672 . 2  |-  ( normh  |`  H ) : H --> RR
114 fvres 5699 . . . . 5  |-  ( x  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  x )  =  (
normh `  x ) )
115114eqeq1d 2446 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  0  <->  ( normh `  x
)  =  0 ) )
116 norm-i 24482 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
11749, 116syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
( normh `  x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
118115, 117bitrd 253 . . 3  |-  ( x  e.  H  ->  (
( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
119118biimpa 484 . 2  |-  ( ( x  e.  H  /\  ( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  0 )  ->  x  =  0h )
120 norm-iii 24493 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( y  .h  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
12149, 120sylan2 474 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( normh `  ( y  .h  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
12266fveq2d 5690 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) )  =  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y  .h  x ) ) )
123 fvres 5699 . . . . 5  |-  ( ( y  .h  x )  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  ( y  .h  x
) )  =  (
normh `  ( y  .h  x ) ) )
12472, 123syl 16 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y  .h  x ) )  =  ( normh `  ( y  .h  x ) ) )
125122, 124eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) )  =  (
normh `  ( y  .h  x ) ) )
126114adantl 466 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  ( normh `  x )
)
127126oveq2d 6102 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( abs `  y
)  x.  ( (
normh  |`  H ) `  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
128121, 125, 1273eqtr4d 2480 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( (
normh  |`  H ) `  x ) ) )
1291sheli 24567 . . . 4  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
130 norm-ii 24491 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  <_ 
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
13149, 129, 130syl2an 477 . . 3  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  <_ 
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
132 ovres 6225 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) y )  =  ( x  +h  y ) )
133132fveq2d 5690 . . . 4  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) y ) )  =  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x  +h  y ) ) )
134 shaddcl 24570 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  SH  /\  x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  H )
1351, 134mp3an1 1301 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  H )
136 fvres 5699 . . . . 5  |-  ( ( x  +h  y )  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  ( x  +h  y
) )  =  (
normh `  ( x  +h  y ) ) )
137135, 136syl 16 . . . 4  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )
138133, 137eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) y ) )  =  (
normh `  ( x  +h  y ) ) )
139 fvres 5699 . . . 4  |-  ( y  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  y )  =  (
normh `  y ) )
140114, 139oveqan12d 6105 . . 3  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( ( normh  |`  H ) `  x
)  +  ( (
normh  |`  H ) `  y ) )  =  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
141131, 138, 1403brtr4d 4317 . 2  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) y ) )  <_  (
( ( normh  |`  H ) `
 x )  +  ( ( normh  |`  H ) `
 y ) ) )
142 hhssnvt.1 . 2  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
14313, 24, 110, 113, 119, 128, 141, 142isnvi 23942 1  |-  W  e.  NrmCVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2711    C_ wss 3323   <.cop 3878   class class class wbr 4287    X. cxp 4833   dom cdm 4835   ran crn 4836    |` cres 4837    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    <_ cle 9411   abscabs 12715   GrpOpcgr 23624  GIdcgi 23625   AbelOpcablo 23719   NrmCVeccnv 23913   ~Hchil 24272    +h cva 24273    .h csm 24274   normhcno 24276   0hc0v 24277   SHcsh 24281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-hilex 24352  ax-hfvadd 24353  ax-hvcom 24354  ax-hvass 24355  ax-hv0cl 24356  ax-hvaddid 24357  ax-hfvmul 24358  ax-hvmulid 24359  ax-hvmulass 24360  ax-hvdistr1 24361  ax-hvdistr2 24362  ax-hvmul0 24363  ax-hfi 24432  ax-his1 24435  ax-his2 24436  ax-his3 24437  ax-his4 24438
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-grpo 23629  df-gid 23630  df-ginv 23631  df-ablo 23720  df-subgo 23740  df-vc 23875  df-nv 23921  df-va 23924  df-ba 23925  df-sm 23926  df-0v 23927  df-nmcv 23929  df-hnorm 24321  df-hba 24322  df-hvsub 24324  df-sh 24560
This theorem is referenced by:  hhssnvt  24617  hhssvsf  24625  hhssims  24627  hhssmet  24629  hhssmetdval  24630  hhssbn  24632
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