Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssnv Structured version   Unicode version

Theorem hhssnv 25856
 Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 26-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssnvt.1
hhssnv.2
Assertion
Ref Expression
hhssnv

Proof of Theorem hhssnv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssnv.2 . . . . 5
21hhssabloi 25854 . . . 4
3 ablogrpo 24962 . . . 4
42, 3ax-mp 5 . . 3
51shssii 25806 . . . . . 6
6 xpss12 5106 . . . . . 6
75, 5, 6mp2an 672 . . . . 5
8 ax-hfvadd 25593 . . . . . 6
98fdmi 5734 . . . . 5
107, 9sseqtr4i 3537 . . . 4
11 ssdmres 5293 . . . 4
1210, 11mpbi 208 . . 3
134, 12grporn 24890 . 2
14 sh0 25809 . . . . . 6
151, 14ax-mp 5 . . . . 5
16 ovres 6424 . . . . 5
1715, 15, 16mp2an 672 . . . 4
18 ax-hv0cl 25596 . . . . 5
1918hvaddid2i 25622 . . . 4
2017, 19eqtri 2496 . . 3
21 eqid 2467 . . . . 5 GId GId
2213, 21grpoid 24901 . . . 4 GId
234, 15, 22mp2an 672 . . 3 GId
2420, 23mpbir 209 . 2 GId
25 ax-hfvmul 25598 . . . . . 6
26 ffn 5729 . . . . . 6
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5
28 ssid 3523 . . . . . 6
29 xpss12 5106 . . . . . 6
3028, 5, 29mp2an 672 . . . . 5
31 fnssres 5692 . . . . 5
3227, 30, 31mp2an 672 . . . 4
33 ovelrn 6433 . . . . . . 7
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6
35 ovres 6424 . . . . . . . . 9
36 shmulcl 25811 . . . . . . . . . 10
371, 36mp3an1 1311 . . . . . . . . 9
3835, 37eqeltrd 2555 . . . . . . . 8
39 eleq1 2539 . . . . . . . 8
4038, 39syl5ibrcom 222 . . . . . . 7
4140rexlimivv 2960 . . . . . 6
4234, 41sylbi 195 . . . . 5
4342ssriv 3508 . . . 4
44 df-f 5590 . . . 4
4532, 43, 44mpbir2an 918 . . 3
46 ax-1cn 9546 . . . . 5
47 ovres 6424 . . . . 5
4846, 47mpan 670 . . . 4
491sheli 25807 . . . . 5
50 ax-hvmulid 25599 . . . . 5
5149, 50syl 16 . . . 4
5248, 51eqtrd 2508 . . 3
53 id 22 . . . . 5
541sheli 25807 . . . . 5
55 ax-hvdistr1 25601 . . . . 5
5653, 49, 54, 55syl3an 1270 . . . 4
57 ovres 6424 . . . . . . 7
58573adant1 1014 . . . . . 6
5958oveq2d 6298 . . . . 5
60 shaddcl 25810 . . . . . . . 8
611, 60mp3an1 1311 . . . . . . 7
62 ovres 6424 . . . . . . 7
6361, 62sylan2 474 . . . . . 6
64633impb 1192 . . . . 5
6559, 64eqtrd 2508 . . . 4
66 ovres 6424 . . . . . . 7
67663adant3 1016 . . . . . 6
68 ovres 6424 . . . . . . 7
69683adant2 1015 . . . . . 6
7067, 69oveq12d 6300 . . . . 5
71 shmulcl 25811 . . . . . . . 8
721, 71mp3an1 1311 . . . . . . 7
73723adant3 1016 . . . . . 6
74 shmulcl 25811 . . . . . . . 8
751, 74mp3an1 1311 . . . . . . 7
76753adant2 1015 . . . . . 6
7773, 76ovresd 6425 . . . . 5
7870, 77eqtrd 2508 . . . 4
7956, 65, 783eqtr4d 2518 . . 3
80 ax-hvdistr2 25602 . . . . 5
8149, 80syl3an3 1263 . . . 4
82 addcl 9570 . . . . . 6
83 ovres 6424 . . . . . 6
8482, 83sylan 471 . . . . 5
85843impa 1191 . . . 4
86663adant2 1015 . . . . . 6
87 ovres 6424 . . . . . . 7
88873adant1 1014 . . . . . 6
8986, 88oveq12d 6300 . . . . 5
90723adant2 1015 . . . . . 6
91 shmulcl 25811 . . . . . . . 8
921, 91mp3an1 1311 . . . . . . 7
93923adant1 1014 . . . . . 6
9490, 93ovresd 6425 . . . . 5
9589, 94eqtrd 2508 . . . 4
9681, 85, 953eqtr4d 2518 . . 3
97 ax-hvmulass 25600 . . . . 5
9849, 97syl3an3 1263 . . . 4
99 mulcl 9572 . . . . . 6
100 ovres 6424 . . . . . 6
10199, 100sylan 471 . . . . 5
1021013impa 1191 . . . 4
10388oveq2d 6298 . . . . 5
104 ovres 6424 . . . . . . 7
10592, 104sylan2 474 . . . . . 6
1061053impb 1192 . . . . 5
107103, 106eqtrd 2508 . . . 4
10898, 102, 1073eqtr4d 2518 . . 3
109 eqid 2467 . . 3
1102, 12, 45, 52, 79, 96, 108, 109isvci 25151 . 2
111 normf 25716 . . 3
112 fssres 5749 . . 3
113111, 5, 112mp2an 672 . 2
114 fvres 5878 . . . . 5
115114eqeq1d 2469 . . . 4
116 norm-i 25722 . . . . 5
11749, 116syl 16 . . . 4
118115, 117bitrd 253 . . 3
119118biimpa 484 . 2
120 norm-iii 25733 . . . 4
12149, 120sylan2 474 . . 3
12266fveq2d 5868 . . . 4
123 fvres 5878 . . . . 5
12472, 123syl 16 . . . 4
125122, 124eqtrd 2508 . . 3
126114adantl 466 . . . 4
127126oveq2d 6298 . . 3
128121, 125, 1273eqtr4d 2518 . 2
1291sheli 25807 . . . 4
130 norm-ii 25731 . . . 4
13149, 129, 130syl2an 477 . . 3
132 ovres 6424 . . . . 5
133132fveq2d 5868 . . . 4
134 shaddcl 25810 . . . . . 6
1351, 134mp3an1 1311 . . . . 5
136 fvres 5878 . . . . 5
137135, 136syl 16 . . . 4
138133, 137eqtrd 2508 . . 3
139 fvres 5878 . . . 4
140114, 139oveqan12d 6301 . . 3
141131, 138, 1403brtr4d 4477 . 2
142 hhssnvt.1 . 2
14313, 24, 110, 113, 119, 128, 141, 142isnvi 25182 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wrex 2815   wss 3476  cop 4033   class class class wbr 4447   cxp 4997   cdm 4999   crn 5000   cres 5001   wfn 5581  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282  cc 9486  cr 9487  cc0 9488  c1 9489   caddc 9491   cmul 9493   cle 9625  cabs 13026  cgr 24864  GIdcgi 24865  cablo 24959  cnv 25153  chil 25512   cva 25513   csm 25514  cno 25516  c0v 25517  csh 25521 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-hilex 25592  ax-hfvadd 25593  ax-hvcom 25594  ax-hvass 25595  ax-hv0cl 25596  ax-hvaddid 25597  ax-hfvmul 25598  ax-hvmulid 25599  ax-hvmulass 25600  ax-hvdistr1 25601  ax-hvdistr2 25602  ax-hvmul0 25603  ax-hfi 25672  ax-his1 25675  ax-his2 25676  ax-his3 25677  ax-his4 25678 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-grpo 24869  df-gid 24870  df-ginv 24871  df-ablo 24960  df-subgo 24980  df-vc 25115  df-nv 25161  df-va 25164  df-ba 25165  df-sm 25166  df-0v 25167  df-nmcv 25169  df-hnorm 25561  df-hba 25562  df-hvsub 25564  df-sh 25800 This theorem is referenced by:  hhssnvt  25857  hhssvsf  25865  hhssims  25867  hhssmet  25869  hhssmetdval  25870  hhssbn  25872
 Copyright terms: Public domain W3C validator