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Theorem hhssnv 22717
Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 26-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssnvt.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
hhssnv.2  |-  H  e.  SH
Assertion
Ref Expression
hhssnv  |-  W  e.  NrmCVec

Proof of Theorem hhssnv
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssnv.2 . . . . 5  |-  H  e.  SH
21hhssabloi 22715 . . . 4  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  AbelOp
3 ablogrpo 21825 . . . 4  |-  ( (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e. 
AbelOp  ->  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e.  GrpOp )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  GrpOp
51shssii 22668 . . . . . 6  |-  H  C_  ~H
6 xpss12 4940 . . . . . 6  |-  ( ( H  C_  ~H  /\  H  C_ 
~H )  ->  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)
75, 5, 6mp2an 654 . . . . 5  |-  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
8 ax-hfvadd 22456 . . . . . 6  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
98fdmi 5555 . . . . 5  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
107, 9sseqtr4i 3341 . . . 4  |-  ( H  X.  H )  C_  dom  +h
11 ssdmres 5127 . . . 4  |-  ( ( H  X.  H ) 
C_  dom  +h  <->  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( H  X.  H ) )
1210, 11mpbi 200 . . 3  |-  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  =  ( H  X.  H
)
134, 12grporn 21753 . 2  |-  H  =  ran  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
14 sh0 22671 . . . . . 6  |-  ( H  e.  SH  ->  0h  e.  H )
151, 14ax-mp 8 . . . . 5  |-  0h  e.  H
16 ovres 6172 . . . . 5  |-  ( ( 0h  e.  H  /\  0h  e.  H )  -> 
( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) 0h )  =  ( 0h  +h  0h ) )
1715, 15, 16mp2an 654 . . . 4  |-  ( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) 0h )  =  ( 0h  +h  0h )
18 ax-hv0cl 22459 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
1918hvaddid2i 22484 . . . 4  |-  ( 0h 
+h  0h )  =  0h
2017, 19eqtri 2424 . . 3  |-  ( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) 0h )  =  0h
21 eqid 2404 . . . . 5  |-  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )
2213, 21grpoid 21764 . . . 4  |-  ( ( (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e.  GrpOp  /\  0h  e.  H )  ->  ( 0h  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )  <-> 
( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) 0h )  =  0h ) )
234, 15, 22mp2an 654 . . 3  |-  ( 0h  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )  <-> 
( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) 0h )  =  0h )
2420, 23mpbir 201 . 2  |-  0h  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )
25 ax-hfvmul 22461 . . . . . 6  |-  .h  :
( CC  X.  ~H )
--> ~H
26 ffn 5550 . . . . . 6  |-  (  .h  : ( CC  X.  ~H ) --> ~H  ->  .h  Fn  ( CC  X.  ~H )
)
2725, 26ax-mp 8 . . . . 5  |-  .h  Fn  ( CC  X.  ~H )
28 ssid 3327 . . . . . 6  |-  CC  C_  CC
29 xpss12 4940 . . . . . 6  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  H  C_ 
~H )  ->  ( CC  X.  H )  C_  ( CC  X.  ~H )
)
3028, 5, 29mp2an 654 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  H )  C_  ( CC  X.  ~H )
31 fnssres 5517 . . . . 5  |-  ( (  .h  Fn  ( CC 
X.  ~H )  /\  ( CC  X.  H )  C_  ( CC  X.  ~H )
)  ->  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  Fn  ( CC  X.  H ) )
3227, 30, 31mp2an 654 . . . 4  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  Fn  ( CC  X.  H )
33 ovelrn 6181 . . . . . . 7  |-  ( (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  Fn  ( CC  X.  H
)  ->  ( z  e.  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  <->  E. x  e.  CC  E. y  e.  H  z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y ) ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  <->  E. x  e.  CC  E. y  e.  H  z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y ) )
35 ovres 6172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) y )  =  ( x  .h  y ) )
36 shmulcl 22673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  SH  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  (
x  .h  y )  e.  H )
371, 36mp3an1 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  H )
3835, 37eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) y )  e.  H )
39 eleq1 2464 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  ->  ( z  e.  H  <->  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  e.  H ) )
4038, 39syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  ->  z  e.  H ) )
4140rexlimivv 2795 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  CC  E. y  e.  H  z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  ->  z  e.  H )
4234, 41sylbi 188 . . . . 5  |-  ( z  e.  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  ->  z  e.  H )
4342ssriv 3312 . . . 4  |-  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  C_  H
44 df-f 5417 . . . 4  |-  ( (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) : ( CC  X.  H
) --> H  <->  ( (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  Fn  ( CC  X.  H
)  /\  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  C_  H
) )
4532, 43, 44mpbir2an 887 . . 3  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) : ( CC  X.  H ) --> H
46 ax-1cn 9004 . . . . 5  |-  1  e.  CC
47 ovres 6172 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( 1 (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( 1  .h  x ) )
4846, 47mpan 652 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
1 (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( 1  .h  x ) )
491sheli 22669 . . . . 5  |-  ( x  e.  H  ->  x  e.  ~H )
50 ax-hvmulid 22462 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
5149, 50syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
5248, 51eqtrd 2436 . . 3  |-  ( x  e.  H  ->  (
1 (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  x )
53 id 20 . . . . 5  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
541sheli 22669 . . . . 5  |-  ( z  e.  H  ->  z  e.  ~H )
55 ax-hvdistr1 22464 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
y  .h  ( x  +h  z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z
) ) )
5653, 49, 54, 55syl3an 1226 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  (
x  +h  z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z ) ) )
57 ovres 6172 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) z )  =  ( x  +h  z ) )
58573adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) z )  =  ( x  +h  z ) )
5958oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) z ) )  =  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x  +h  z ) ) )
60 shaddcl 22672 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x  +h  z
)  e.  H )
611, 60mp3an1 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x  +h  z
)  e.  H )
62 ovres 6172 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( x  +h  z
)  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( x  +h  z ) )  =  ( y  .h  ( x  +h  z ) ) )
6361, 62sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( x  e.  H  /\  z  e.  H
) )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( x  +h  z
) )  =  ( y  .h  ( x  +h  z ) ) )
64633impb 1149 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x  +h  z ) )  =  ( y  .h  ( x  +h  z
) ) )
6559, 64eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) z ) )  =  ( y  .h  (
x  +h  z ) ) )
66 ovres 6172 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( y  .h  x ) )
67663adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( y  .h  x ) )
68 ovres 6172 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z )  =  ( y  .h  z ) )
69683adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z )  =  ( y  .h  z ) )
7067, 69oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z ) )  =  ( ( y  .h  x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y  .h  z
) ) )
71 shmulcl 22673 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y  .h  x )  e.  H )
721, 71mp3an1 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( y  .h  x
)  e.  H )
73723adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  x
)  e.  H )
74 shmulcl 22673 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  (
y  .h  z )  e.  H )
751, 74mp3an1 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  z
)  e.  H )
76753adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  z
)  e.  H )
7773, 76ovresd 6173 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( ( y  .h  x ) (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) ( y  .h  z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z
) ) )
7870, 77eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z ) ) )
7956, 65, 783eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) z ) )  =  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z ) ) )
80 ax-hvdistr2 22465 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  +  z )  .h  x )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( z  .h  x
) ) )
8149, 80syl3an3 1219 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  +  z )  .h  x )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( z  .h  x
) ) )
82 addcl 9028 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y  +  z )  e.  CC )
83 ovres 6172 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  +  z )  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( y  +  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( ( y  +  z )  .h  x ) )
8482, 83sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  H
)  ->  ( (
y  +  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y  +  z )  .h  x ) )
85843impa 1148 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  +  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y  +  z )  .h  x ) )
86663adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( y  .h  x ) )
87 ovres 6172 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( z  .h  x ) )
88873adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
z (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( z  .h  x ) )
8986, 88oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( ( y  .h  x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z  .h  x
) ) )
90723adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y  .h  x )  e.  H )
91 shmulcl 22673 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
z  .h  x )  e.  H )
921, 91mp3an1 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( z  .h  x
)  e.  H )
93923adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
z  .h  x )  e.  H )
9490, 93ovresd 6173 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  .h  x
) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z  .h  x
) )  =  ( ( y  .h  x
)  +h  ( z  .h  x ) ) )
9589, 94eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( z  .h  x ) ) )
9681, 85, 953eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  +  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) ) )
97 ax-hvmulass 22463 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  x.  z
)  .h  x )  =  ( y  .h  ( z  .h  x
) ) )
9849, 97syl3an3 1219 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  x.  z
)  .h  x )  =  ( y  .h  ( z  .h  x
) ) )
99 mulcl 9030 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y  x.  z
)  e.  CC )
100 ovres 6172 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  x.  z
)  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( y  x.  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( ( y  x.  z )  .h  x ) )
10199, 100sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  H
)  ->  ( (
y  x.  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y  x.  z
)  .h  x ) )
1021013impa 1148 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  x.  z
) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y  x.  z
)  .h  x ) )
10388oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x
) ) )
104 ovres 6172 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( z  .h  x
)  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x ) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
10592, 104sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( z  e.  CC  /\  x  e.  H ) )  ->  ( y
(  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x
) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
1061053impb 1149 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x
) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
107103, 106eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
10898, 102, 1073eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  x.  z
) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) ) )
109 eqid 2404 . . 3  |-  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  =  <. (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) >.
1102, 12, 45, 52, 79, 96, 108, 109isvci 22014 . 2  |-  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  e.  CVec OLD
111 normf 22578 . . 3  |-  normh : ~H --> RR
112 fssres 5569 . . 3  |-  ( (
normh : ~H --> RR  /\  H  C_  ~H )  -> 
( normh  |`  H ) : H --> RR )
113111, 5, 112mp2an 654 . 2  |-  ( normh  |`  H ) : H --> RR
114 fvres 5704 . . . . 5  |-  ( x  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  x )  =  (
normh `  x ) )
115114eqeq1d 2412 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  0  <->  ( normh `  x
)  =  0 ) )
116 norm-i 22584 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
11749, 116syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
( normh `  x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
118115, 117bitrd 245 . . 3  |-  ( x  e.  H  ->  (
( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
119118biimpa 471 . 2  |-  ( ( x  e.  H  /\  ( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  0 )  ->  x  =  0h )
120 norm-iii 22595 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( y  .h  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
12149, 120sylan2 461 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( normh `  ( y  .h  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
12266fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) )  =  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y  .h  x ) ) )
123 fvres 5704 . . . . 5  |-  ( ( y  .h  x )  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  ( y  .h  x
) )  =  (
normh `  ( y  .h  x ) ) )
12472, 123syl 16 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y  .h  x ) )  =  ( normh `  ( y  .h  x ) ) )
125122, 124eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) )  =  (
normh `  ( y  .h  x ) ) )
126114adantl 453 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  ( normh `  x )
)
127126oveq2d 6056 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( abs `  y
)  x.  ( (
normh  |`  H ) `  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
128121, 125, 1273eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( (
normh  |`  H ) `  x ) ) )
1291sheli 22669 . . . 4  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
130 norm-ii 22593 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  <_ 
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
13149, 129, 130syl2an 464 . . 3  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  <_ 
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
132 ovres 6172 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) y )  =  ( x  +h  y ) )
133132fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) y ) )  =  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x  +h  y ) ) )
134 shaddcl 22672 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  SH  /\  x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  H )
1351, 134mp3an1 1266 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  H )
136 fvres 5704 . . . . 5  |-  ( ( x  +h  y )  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  ( x  +h  y
) )  =  (
normh `  ( x  +h  y ) ) )
137135, 136syl 16 . . . 4  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )
138133, 137eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) y ) )  =  (
normh `  ( x  +h  y ) ) )
139 fvres 5704 . . . 4  |-  ( y  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  y )  =  (
normh `  y ) )
140114, 139oveqan12d 6059 . . 3  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( ( normh  |`  H ) `  x
)  +  ( (
normh  |`  H ) `  y ) )  =  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
141131, 138, 1403brtr4d 4202 . 2  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) y ) )  <_  (
( ( normh  |`  H ) `
 x )  +  ( ( normh  |`  H ) `
 y ) ) )
142 hhssnvt.1 . 2  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
14313, 24, 110, 113, 119, 128, 141, 142isnvi 22045 1  |-  W  e.  NrmCVec
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667    C_ wss 3280   <.cop 3777   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077   abscabs 11994   GrpOpcgr 21727  GIdcgi 21728   AbelOpcablo 21822   NrmCVeccnv 22016   ~Hchil 22375    +h cva 22376    .h csm 22377   normhcno 22379   0hc0v 22380   SHcsh 22384
This theorem is referenced by:  hhssnvt  22718  hhssvsf  22726  hhssims  22728  hhssmet  22730  hhssmetdval  22731  hhssbn  22733
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvdistr1 22464  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-ablo 21823  df-subgo 21843  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-nmcv 22032  df-hnorm 22424  df-hba 22425  df-hvsub 22427  df-sh 22662
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