HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssnm Structured version   Unicode version

Theorem hhssnm 26904
Description: The norm operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhss.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
Assertion
Ref Expression
hhssnm  |-  ( normh  |`  H )  =  (
normCV
`  W )

Proof of Theorem hhssnm
StepHypRef Expression
1 eqid 2423 . . 3  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
21nmcvfval 26218 . 2  |-  ( normCV `  W )  =  ( 2nd `  W )
3 hhss.1 . . 3  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
43fveq2i 5882 . 2  |-  ( 2nd `  W )  =  ( 2nd `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
5 opex 4683 . . 3  |-  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  e.  _V
6 normf 26768 . . . . 5  |-  normh : ~H --> RR
7 ax-hilex 26644 . . . . 5  |-  ~H  e.  _V
8 fex 6151 . . . . 5  |-  ( (
normh : ~H --> RR  /\  ~H  e.  _V )  ->  normh  e.  _V )
96, 7, 8mp2an 677 . . . 4  |-  normh  e.  _V
109resex 5165 . . 3  |-  ( normh  |`  H )  e.  _V
115, 10op2nd 6814 . 2  |-  ( 2nd `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  ( normh  |`  H )
122, 4, 113eqtrri 2457 1  |-  ( normh  |`  H )  =  (
normCV
`  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1438    e. wcel 1869   _Vcvv 3082   <.cop 4003    X. cxp 4849    |` cres 4853   -->wf 5595   ` cfv 5599   2ndc2nd 6804   CCcc 9539   RRcr 9540   normCVcnmcv 26201   ~Hchil 26564    +h cva 26565    .h csm 26566   normhcno 26568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-hilex 26644  ax-hv0cl 26648  ax-hvmul0 26655  ax-hfi 26724  ax-his1 26727  ax-his3 26729  ax-his4 26730
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-nmcv 26211  df-hnorm 26613
This theorem is referenced by:  hhsst  26909  hhsssh2  26913  hhssims  26918  hhssmetdval  26921
  Copyright terms: Public domain W3C validator