Theorem hhssmetdval 10782

Description: Value of the distance function of the metric space of a subspace.

Hypotheses

Ref	Expression
hhssims2.1	|- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
hhssims2.3	|- D = (IndMet` W)
hhssims2.2	|- H e. SH

Assertion

Ref	Expression
hhssmetdval	|- ((A e. H /\ B e. H) -> (ADB) = (normh` (A -h B)))

Proof of Theorem hhssmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssims2.1	. . . 4 |- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
2		hhssims2.2	. . . 4 |- H e. SH
3	1, 2	hhssnv 10767	. . 3 |- W e. NrmCVec
4	1, 2	hhssba 10774	. . . 4 |- H = (BaseSet` W)
5	1, 2	hhssvs 10775	. . . 4 |- ( -h |` (H X. H)) = (-v` W)
6	1	hhssnm 10764	. . . 4 |- (normh |` H) = (norm` W)
7		hhssims2.3	. . . 4 |- D = (IndMet` W)
8	4, 5, 6, 7	imsdval 9649	. . 3 |- ((W e. NrmCVec /\ A e. H /\ B e. H) -> (ADB) = ((normh |` H)` (A( -h |` (H X. H))B)))
9	3, 8	mp3an1 1178	. 2 |- ((A e. H /\ B e. H) -> (ADB) = ((normh |` H)` (A( -h |` (H X. H))B)))
10		oprvres 4963	. . 3 |- ((A e. H /\ B e. H) -> (A( -h |` (H X. H))B) = (A -h B))
11	10	fveq2d 4685	. 2 |- ((A e. H /\ B e. H) -> ((normh |` H)` (A( -h |` (H X. H))B)) = ((normh |` H)` (A -h B)))
12		shsubcl 10722	. . . 4 |- ((H e. SH /\ A e. H /\ B e. H) -> (A -h B) e. H)
13	2, 12	mp3an1 1178	. . 3 |- ((A e. H /\ B e. H) -> (A -h B) e. H)
14		fvres 4691	. . 3 |- ((A -h B) e. H -> ((normh |` H)` (A -h B)) = (normh` (A -h B)))
15	13, 14	syl 12	. 2 |- ((A e. H /\ B e. H) -> ((normh |` H)` (A -h B)) = (normh` (A -h B)))
16	9, 11, 15	3eqtrd 1929	1 |- ((A e. H /\ B e. H) -> (ADB) = (normh` (A -h B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046   X. cxp 3984   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  NrmCVeccnv 9535  IndMetcims 9542   +h cva 10421   .h csm 10422   -h cmv 10424  normhcno 10426  SHcsh 10429

This theorem is referenced by:  hhsscms 10783

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-subg 9424  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ssp 9720  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-sh 10709  df-ch 10725  df-ch0 10758

Copyright terms: Public domain