HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssmetdval Structured version   Unicode version

Theorem hhssmetdval 24814
Description: Value of the distance function of the metric space of a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssims2.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
hhssims2.3  |-  D  =  ( IndMet `  W )
hhssims2.2  |-  H  e.  SH
Assertion
Ref Expression
hhssmetdval  |-  ( ( A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A D B )  =  ( normh `  ( A  -h  B
) ) )

Proof of Theorem hhssmetdval
StepHypRef Expression
1 hhssims2.1 . . . 4  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
2 hhssims2.2 . . . 4  |-  H  e.  SH
31, 2hhssnv 24800 . . 3  |-  W  e.  NrmCVec
41, 2hhssba 24807 . . . 4  |-  H  =  ( BaseSet `  W )
51, 2hhssvs 24808 . . . 4  |-  (  -h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( -v `  W )
61hhssnm 24797 . . . 4  |-  ( normh  |`  H )  =  (
normCV
`  W )
7 hhssims2.3 . . . 4  |-  D  =  ( IndMet `  W )
84, 5, 6, 7imsdval 24212 . . 3  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A D B )  =  ( ( normh  |`  H ) `
 ( A (  -h  |`  ( H  X.  H ) ) B ) ) )
93, 8mp3an1 1302 . 2  |-  ( ( A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A D B )  =  ( (
normh  |`  H ) `  ( A (  -h  |`  ( H  X.  H ) ) B ) ) )
10 ovres 6330 . . 3  |-  ( ( A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A (  -h  |`  ( H  X.  H
) ) B )  =  ( A  -h  B ) )
1110fveq2d 5793 . 2  |-  ( ( A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( A (  -h  |`  ( H  X.  H ) ) B ) )  =  ( ( normh  |`  H ) `
 ( A  -h  B ) ) )
12 shsubcl 24758 . . . 4  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  H )
132, 12mp3an1 1302 . . 3  |-  ( ( A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  H )
14 fvres 5803 . . 3  |-  ( ( A  -h  B )  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  ( A  -h  B
) )  =  (
normh `  ( A  -h  B ) ) )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( A  -h  B ) )  =  ( normh `  ( A  -h  B ) ) )
169, 11, 153eqtrd 2496 1  |-  ( ( A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A D B )  =  ( normh `  ( A  -h  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   <.cop 3981    X. cxp 4936    |` cres 4940   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   NrmCVeccnv 24097   IndMetcims 24104    +h cva 24457    .h csm 24458   normhcno 24460    -h cmv 24462   SHcsh 24465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463  ax-hilex 24536  ax-hfvadd 24537  ax-hvcom 24538  ax-hvass 24539  ax-hv0cl 24540  ax-hvaddid 24541  ax-hfvmul 24542  ax-hvmulid 24543  ax-hvmulass 24544  ax-hvdistr1 24545  ax-hvdistr2 24546  ax-hvmul0 24547  ax-hfi 24616  ax-his1 24619  ax-his2 24620  ax-his3 24621  ax-his4 24622
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-icc 11408  df-seq 11908  df-exp 11967  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-topgen 14484  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-lm 18949  df-haus 19035  df-grpo 23813  df-gid 23814  df-ginv 23815  df-gdiv 23816  df-ablo 23904  df-subgo 23924  df-vc 24059  df-nv 24105  df-va 24108  df-ba 24109  df-sm 24110  df-0v 24111  df-vs 24112  df-nmcv 24113  df-ims 24114  df-ssp 24255  df-hnorm 24505  df-hba 24506  df-hvsub 24508  df-hlim 24509  df-sh 24744  df-ch 24759  df-ch0 24791
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator