HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssims Structured version   Unicode version

Theorem hhssims 25895
Description: Induced metric of a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsssh2.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
hhssims.2  |-  H  e.  SH
hhssims.3  |-  D  =  ( ( normh  o.  -h  )  |`  ( H  X.  H ) )
Assertion
Ref Expression
hhssims  |-  D  =  ( IndMet `  W )

Proof of Theorem hhssims
StepHypRef Expression
1 hhssims.3 . 2  |-  D  =  ( ( normh  o.  -h  )  |`  ( H  X.  H ) )
2 hhsssh2.1 . . . . 5  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
3 hhssims.2 . . . . 5  |-  H  e.  SH
42, 3hhssnv 25884 . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
52, 3hhssvs 25892 . . . . 5  |-  (  -h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( -v `  W )
62hhssnm 25881 . . . . 5  |-  ( normh  |`  H )  =  (
normCV
`  W )
7 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
85, 6, 7imsval 25295 . . . 4  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  W
)  =  ( (
normh  |`  H )  o.  (  -h  |`  ( H  X.  H ) ) ) )
94, 8ax-mp 5 . . 3  |-  ( IndMet `  W )  =  ( ( normh  |`  H )  o.  (  -h  |`  ( H  X.  H ) ) )
10 resco 5511 . . . 4  |-  ( (
normh  o.  -h  )  |`  ( H  X.  H
) )  =  (
normh  o.  (  -h  |`  ( H  X.  H ) ) )
112, 3hhssvsf 25893 . . . . . 6  |-  (  -h  |`  ( H  X.  H
) ) : ( H  X.  H ) --> H
12 frn 5737 . . . . . 6  |-  ( (  -h  |`  ( H  X.  H ) ) : ( H  X.  H
) --> H  ->  ran  (  -h  |`  ( H  X.  H ) )  C_  H )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  (  -h  |`  ( H  X.  H ) )  C_  H
14 cores 5510 . . . . 5  |-  ( ran  (  -h  |`  ( H  X.  H ) ) 
C_  H  ->  (
( normh  |`  H )  o.  (  -h  |`  ( H  X.  H ) ) )  =  ( normh  o.  (  -h  |`  ( H  X.  H ) ) ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (
normh  |`  H )  o.  (  -h  |`  ( H  X.  H ) ) )  =  ( normh  o.  (  -h  |`  ( H  X.  H ) ) )
1610, 15eqtr4i 2499 . . 3  |-  ( (
normh  o.  -h  )  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( ( normh  |`  H )  o.  (  -h  |`  ( H  X.  H ) ) )
179, 16eqtr4i 2499 . 2  |-  ( IndMet `  W )  =  ( ( normh  o.  -h  )  |`  ( H  X.  H ) )
181, 17eqtr4i 2499 1  |-  D  =  ( IndMet `  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   <.cop 4033    X. cxp 4997   ran crn 5000    |` cres 5001    o. ccom 5003   -->wf 5584   ` cfv 5588   CCcc 9490   NrmCVeccnv 25181   IndMetcims 25188    +h cva 25541    .h csm 25542   normhcno 25544    -h cmv 25546   SHcsh 25549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572  ax-hilex 25620  ax-hfvadd 25621  ax-hvcom 25622  ax-hvass 25623  ax-hv0cl 25624  ax-hvaddid 25625  ax-hfvmul 25626  ax-hvmulid 25627  ax-hvmulass 25628  ax-hvdistr1 25629  ax-hvdistr2 25630  ax-hvmul0 25631  ax-hfi 25700  ax-his1 25703  ax-his2 25704  ax-his3 25705  ax-his4 25706
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-icc 11536  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-lm 19524  df-haus 19610  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-gdiv 24900  df-ablo 24988  df-subgo 25008  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-vs 25196  df-nmcv 25197  df-ims 25198  df-ssp 25339  df-hnorm 25589  df-hba 25590  df-hvsub 25592  df-hlim 25593  df-sh 25828  df-ch 25843  df-ch0 25875
This theorem is referenced by:  hhssims2  25896
  Copyright terms: Public domain W3C validator