Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsscms Structured version   Unicode version

Theorem hhsscms 26922
 Description: The induced metric of a closed subspace is complete. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssims2.1
hhssims2.3
hhsscms.3
Assertion
Ref Expression
hhsscms

Proof of Theorem hhsscms
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2423 . 2
2 hhssims2.1 . . 3
3 hhssims2.3 . . 3
4 hhsscms.3 . . . 4
54chshii 26872 . . 3
62, 3, 5hhssmet 26920 . 2
7 simpl 459 . . . . . . . . . 10
82, 3, 5hhssims2 26919 . . . . . . . . . . 11
98fveq2i 5882 . . . . . . . . . 10
107, 9syl6eleq 2521 . . . . . . . . 9
11 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11
1211hilxmet 26840 . . . . . . . . . 10
13 simpr 463 . . . . . . . . . 10
14 causs 22260 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14sylancr 668 . . . . . . . . 9
1610, 15mpbird 236 . . . . . . . 8
174chssii 26876 . . . . . . . . . 10
18 fss 5752 . . . . . . . . . 10
1913, 17, 18sylancl 667 . . . . . . . . 9
20 ax-hilex 26644 . . . . . . . . . 10
21 nnex 10617 . . . . . . . . . 10
2220, 21elmap 7506 . . . . . . . . 9
2319, 22sylibr 216 . . . . . . . 8
24 eqid 2423 . . . . . . . . . 10
2524, 11hhims 26817 . . . . . . . . . 10
2624, 25hhcau 26843 . . . . . . . . 9
2726elin2 3654 . . . . . . . 8
2816, 23, 27sylanbrc 669 . . . . . . 7
29 ax-hcompl 26847 . . . . . . 7
30 vex 3085 . . . . . . . . 9
31 vex 3085 . . . . . . . . 9
3230, 31breldm 5056 . . . . . . . 8
3332rexlimivw 2915 . . . . . . 7
3428, 29, 333syl 18 . . . . . 6
35 hlimf 26882 . . . . . . 7
36 ffun 5746 . . . . . . 7
37 funfvbrb 6008 . . . . . . 7
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . 6
3934, 38sylib 200 . . . . 5
40 eqid 2423 . . . . . . . 8
4124, 25, 40hhlm 26844 . . . . . . 7
42 resss 5145 . . . . . . 7
4341, 42eqsstri 3495 . . . . . 6
4443ssbri 4464 . . . . 5
4539, 44syl 17 . . . 4
468, 40, 1metrest 21531 . . . . . . 7 t
4712, 17, 46mp2an 677 . . . . . 6 t
4847eqcomi 2436 . . . . 5 t
49 nnuz 11196 . . . . 5
504a1i 11 . . . . 5
5140mopntop 21447 . . . . . 6
5212, 51mp1i 13 . . . . 5
53 fvex 5889 . . . . . . 7
5453chlimi 26879 . . . . . 6
5550, 13, 39, 54syl3anc 1265 . . . . 5
56 1zzd 10970 . . . . 5
5748, 49, 50, 52, 55, 56, 13lmss 20306 . . . 4
5845, 57mpbid 214 . . 3
5930, 53breldm 5056 . . 3
6058, 59syl 17 . 2
611, 6, 60iscmet3i 22273 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 188   wa 371   wceq 1438   wcel 1869  wrex 2777   wss 3437  cop 4003   class class class wbr 4421   cxp 4849   cdm 4851   cres 4853   ccom 4855   wfun 5593  wf 5595  cfv 5599  (class class class)co 6303   cmap 7478  cc 9539  c1 9542  cn 10611   ↾t crest 15312  cxmt 18948  cmopn 18953  ctop 19909  clm 20234  cca 22215  cms 22216  cims 26202  chil 26564   cva 26565   csm 26566  cno 26568   cmv 26570  ccau 26571   chli 26572  cch 26574 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cc 8867  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621  ax-hilex 26644  ax-hfvadd 26645  ax-hvcom 26646  ax-hvass 26647  ax-hv0cl 26648  ax-hvaddid 26649  ax-hfvmul 26650  ax-hvmulid 26651  ax-hvmulass 26652  ax-hvdistr1 26653  ax-hvdistr2 26654  ax-hvmul0 26655  ax-hfi 26724  ax-his1 26727  ax-his2 26728  ax-his3 26729  ax-his4 26730  ax-hcompl 26847 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-acn 8379  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fl 12029  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-ntr 20027  df-nei 20106  df-lm 20237  df-haus 20323  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-cfil 22217  df-cau 22218  df-cmet 22219  df-grpo 25911  df-gid 25912  df-ginv 25913  df-gdiv 25914  df-ablo 26002  df-subgo 26022  df-vc 26157  df-nv 26203  df-va 26206  df-ba 26207  df-sm 26208  df-0v 26209  df-vs 26210  df-nmcv 26211  df-ims 26212  df-ssp 26353  df-hnorm 26613  df-hba 26614  df-hvsub 26616  df-hlim 26617  df-hcau 26618  df-sh 26852  df-ch 26866  df-ch0 26898 This theorem is referenced by:  hhssbn  26923
 Copyright terms: Public domain W3C validator