HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssbn Structured version   Unicode version

Theorem hhssbn 26623
Description: Banach space property of a closed subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssbn.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
hhssbn.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
hhssbn  |-  W  e. 
CBan

Proof of Theorem hhssbn
StepHypRef Expression
1 hhssbn.1 . . 3  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
2 hhssbn.2 . . . 4  |-  H  e. 
CH
32chshii 26572 . . 3  |-  H  e.  SH
41, 3hhssnv 26607 . 2  |-  W  e.  NrmCVec
5 eqid 2404 . . 3  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
61, 5, 2hhsscms 26622 . 2  |-  ( IndMet `  W )  e.  (
CMet `  H )
71, 3hhssba 26614 . . 3  |-  H  =  ( BaseSet `  W )
87, 5iscbn 26207 . 2  |-  ( W  e.  CBan  <->  ( W  e.  NrmCVec 
/\  ( IndMet `  W
)  e.  ( CMet `  H ) ) )
94, 6, 8mpbir2an 923 1  |-  W  e. 
CBan
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1407    e. wcel 1844   <.cop 3980    X. cxp 4823    |` cres 4827   ` cfv 5571   CCcc 9522   CMetcms 21987   NrmCVeccnv 25904   IndMetcims 25911   CBanccbn 26205    +h cva 26264    .h csm 26265   normhcno 26267   CHcch 26273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cc 8849  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604  ax-hilex 26343  ax-hfvadd 26344  ax-hvcom 26345  ax-hvass 26346  ax-hv0cl 26347  ax-hvaddid 26348  ax-hfvmul 26349  ax-hvmulid 26350  ax-hvmulass 26351  ax-hvdistr1 26352  ax-hvdistr2 26353  ax-hvmul0 26354  ax-hfi 26423  ax-his1 26426  ax-his2 26427  ax-his3 26428  ax-his4 26429  ax-hcompl 26546
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-acn 8357  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-rest 15039  df-topgen 15060  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-ntr 19815  df-nei 19894  df-lm 20025  df-haus 20111  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-cfil 21988  df-cau 21989  df-cmet 21990  df-grpo 25620  df-gid 25621  df-ginv 25622  df-gdiv 25623  df-ablo 25711  df-subgo 25731  df-vc 25866  df-nv 25912  df-va 25915  df-ba 25916  df-sm 25917  df-0v 25918  df-vs 25919  df-nmcv 25920  df-ims 25921  df-ssp 26062  df-cbn 26206  df-hnorm 26312  df-hba 26313  df-hvsub 26315  df-hlim 26316  df-hcau 26317  df-sh 26551  df-ch 26566  df-ch0 26598
This theorem is referenced by:  hhsshl  26624  pjhthlem2  26737
  Copyright terms: Public domain W3C validator