HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssabloi Structured version   Unicode version

Theorem hhssabloi 24663
Description: Abelian group property of subspace addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssabl.1  |-  H  e.  SH
Assertion
Ref Expression
hhssabloi  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  AbelOp

Proof of Theorem hhssabloi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 24562 . . . . . 6  |-  +h  e.  AbelOp
2 ablogrpo 23771 . . . . . 6  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  +h  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  +h  e.  GrpOp
4 df-hba 24371 . . . . . 6  |-  ~H  =  ( BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
5 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
65hhva 24568 . . . . . 6  |-  +h  =  ( +v `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
74, 6bafval 23982 . . . . 5  |-  ~H  =  ran  +h
8 hilid 24563 . . . . . 6  |-  (GId `  +h  )  =  0h
98eqcomi 2447 . . . . 5  |-  0h  =  (GId `  +h  )
105hhnv 24567 . . . . . 6  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
115hhsm 24571 . . . . . . 7  |-  .h  =  ( .sOLD `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
)
12 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (  .h  o.  `' ( 2nd  |`  ( { -u 1 }  X.  _V ) ) )  =  (  .h  o.  `' ( 2nd  |`  ( { -u 1 }  X.  _V ) ) )
136, 11, 12nvinvfval 24020 . . . . . 6  |-  ( <. <.  +h  ,  .h  >. , 
normh >.  e.  NrmCVec  ->  (  .h  o.  `' ( 2nd  |`  ( { -u 1 }  X.  _V ) ) )  =  ( inv `  +h  ) )
1410, 13ax-mp 5 . . . . 5  |-  (  .h  o.  `' ( 2nd  |`  ( { -u 1 }  X.  _V ) ) )  =  ( inv `  +h  )
15 hhssabl.1 . . . . . 6  |-  H  e.  SH
1615shssii 24615 . . . . 5  |-  H  C_  ~H
17 eqid 2443 . . . . 5  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  =  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
18 shaddcl 24619 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  SH  /\  x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  H )
1915, 18mp3an1 1301 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  H )
20 sh0 24618 . . . . . 6  |-  ( H  e.  SH  ->  0h  e.  H )
2115, 20ax-mp 5 . . . . 5  |-  0h  e.  H
22 ax-hfvmul 24407 . . . . . . . 8  |-  .h  :
( CC  X.  ~H )
--> ~H
23 ffn 5559 . . . . . . . 8  |-  (  .h  : ( CC  X.  ~H ) --> ~H  ->  .h  Fn  ( CC  X.  ~H )
)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  .h  Fn  ( CC  X.  ~H )
25 neg1cn 10425 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
2612curry1val 6665 . . . . . . 7  |-  ( (  .h  Fn  ( CC 
X.  ~H )  /\  -u 1  e.  CC )  ->  (
(  .h  o.  `' ( 2nd  |`  ( { -u 1 }  X.  _V ) ) ) `  x )  =  (
-u 1  .h  x
) )
2724, 25, 26mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( (  .h  o.  `' ( 2nd  |`  ( { -u 1 }  X.  _V ) ) ) `  x )  =  (
-u 1  .h  x
)
28 shmulcl 24620 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  SH  /\  -u 1  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( -u 1  .h  x )  e.  H
)
2915, 25, 28mp3an12 1304 . . . . . 6  |-  ( x  e.  H  ->  ( -u 1  .h  x )  e.  H )
3027, 29syl5eqel 2527 . . . . 5  |-  ( x  e.  H  ->  (
(  .h  o.  `' ( 2nd  |`  ( { -u 1 }  X.  _V ) ) ) `  x )  e.  H
)
313, 7, 9, 14, 16, 17, 19, 21, 30issubgoi 23797 . . . 4  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  (
SubGrpOp `  +h  )
32 issubgo 23790 . . . 4  |-  ( (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e.  ( SubGrpOp `  +h  )  <->  (  +h  e.  GrpOp  /\  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  GrpOp  /\  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) 
C_  +h  ) )
3331, 32mpbi 208 . . 3  |-  (  +h  e.  GrpOp  /\  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  GrpOp  /\  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) 
C_  +h  )
3433simp2i 998 . 2  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  GrpOp
35 xpss12 4945 . . . . 5  |-  ( ( H  C_  ~H  /\  H  C_ 
~H )  ->  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)
3616, 16, 35mp2an 672 . . . 4  |-  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
37 ax-hfvadd 24402 . . . . 5  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
3837fdmi 5564 . . . 4  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
3936, 38sseqtr4i 3389 . . 3  |-  ( H  X.  H )  C_  dom  +h
40 ssdmres 5132 . . 3  |-  ( ( H  X.  H ) 
C_  dom  +h  <->  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( H  X.  H ) )
4139, 40mpbi 208 . 2  |-  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  =  ( H  X.  H
)
4215sheli 24616 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  x  e.  ~H )
4315sheli 24616 . . . 4  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
44 ax-hvcom 24403 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( y  +h  x ) )
4542, 43, 44syl2an 477 . . 3  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( y  +h  x ) )
46 ovres 6230 . . 3  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) y )  =  ( x  +h  y ) )
47 ovres 6230 . . . 4  |-  ( ( y  e.  H  /\  x  e.  H )  ->  ( y (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) x )  =  ( y  +h  x ) )
4847ancoms 453 . . 3  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( y (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) x )  =  ( y  +h  x ) )
4945, 46, 483eqtr4d 2485 . 2  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) y )  =  ( y (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) x ) )
5034, 41, 49isabloi 23775 1  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   {csn 3877   <.cop 3883    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   dom cdm 4840    |` cres 4842    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   2ndc2nd 6576   CCcc 9280   1c1 9283   -ucneg 9596   GrpOpcgr 23673  GIdcgi 23674   invcgn 23675   AbelOpcablo 23768   SubGrpOpcsubgo 23788   NrmCVeccnv 23962   ~Hchil 24321    +h cva 24322    .h csm 24323   normhcno 24325   0hc0v 24326   SHcsh 24330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-hilex 24401  ax-hfvadd 24402  ax-hvcom 24403  ax-hvass 24404  ax-hv0cl 24405  ax-hvaddid 24406  ax-hfvmul 24407  ax-hvmulid 24408  ax-hvmulass 24409  ax-hvdistr1 24410  ax-hvdistr2 24411  ax-hvmul0 24412  ax-hfi 24481  ax-his1 24484  ax-his2 24485  ax-his3 24486  ax-his4 24487
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ginv 23680  df-ablo 23769  df-subgo 23789  df-vc 23924  df-nv 23970  df-va 23973  df-ba 23974  df-sm 23975  df-0v 23976  df-nmcv 23978  df-hnorm 24370  df-hba 24371  df-hvsub 24373  df-sh 24609
This theorem is referenced by:  hhssablo  24664  hhssnv  24665
  Copyright terms: Public domain W3C validator