Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssabloi Structured version   Unicode version

Theorem hhssabloi 26748
 Description: Abelian group property of subspace addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssabl.1
Assertion
Ref Expression
hhssabloi

Proof of Theorem hhssabloi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 26648 . . . . . 6
2 ablogrpo 25857 . . . . . 6
31, 2ax-mp 5 . . . . 5
4 df-hba 26457 . . . . . 6
5 eqid 2429 . . . . . . 7
65hhva 26654 . . . . . 6
74, 6bafval 26068 . . . . 5
8 hilid 26649 . . . . . 6 GId
98eqcomi 2442 . . . . 5 GId
105hhnv 26653 . . . . . 6
115hhsm 26657 . . . . . . 7
12 eqid 2429 . . . . . . 7
136, 11, 12nvinvfval 26106 . . . . . 6
1410, 13ax-mp 5 . . . . 5
15 hhssabl.1 . . . . . 6
1615shssii 26701 . . . . 5
17 eqid 2429 . . . . 5
18 shaddcl 26705 . . . . . 6
1915, 18mp3an1 1347 . . . . 5
20 sh0 26704 . . . . . 6
2115, 20ax-mp 5 . . . . 5
22 ax-hfvmul 26493 . . . . . . . 8
23 ffn 5746 . . . . . . . 8
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7
25 neg1cn 10713 . . . . . . 7
2612curry1val 6900 . . . . . . 7
2724, 25, 26mp2an 676 . . . . . 6
28 shmulcl 26706 . . . . . . 7
2915, 25, 28mp3an12 1350 . . . . . 6
3027, 29syl5eqel 2521 . . . . 5
313, 7, 9, 14, 16, 17, 19, 21, 30issubgoi 25883 . . . 4
32 issubgo 25876 . . . 4
3331, 32mpbi 211 . . 3
3433simp2i 1015 . 2
35 xpss12 4960 . . . . 5
3616, 16, 35mp2an 676 . . . 4
37 ax-hfvadd 26488 . . . . 5
3837fdmi 5751 . . . 4
3936, 38sseqtr4i 3503 . . 3
40 ssdmres 5146 . . 3
4139, 40mpbi 211 . 2
4215sheli 26702 . . . 4
4315sheli 26702 . . . 4
44 ax-hvcom 26489 . . . 4
4542, 43, 44syl2an 479 . . 3
46 ovres 6450 . . 3
47 ovres 6450 . . . 4
4847ancoms 454 . . 3
4945, 46, 483eqtr4d 2480 . 2
5034, 41, 49isabloi 25861 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  cvv 3087   wss 3442  csn 4002  cop 4008   cxp 4852  ccnv 4853   cdm 4854   cres 4856   ccom 4858   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  c2nd 6806  cc 9536  c1 9539  cneg 9860  cgr 25759  GIdcgi 25760  cgn 25761  cablo 25854  csubgo 25874  cnv 26048  chil 26407   cva 26408   csm 26409  cno 26411  c0v 26412  csh 26416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-hilex 26487  ax-hfvadd 26488  ax-hvcom 26489  ax-hvass 26490  ax-hv0cl 26491  ax-hvaddid 26492  ax-hfvmul 26493  ax-hvmulid 26494  ax-hvmulass 26495  ax-hvdistr1 26496  ax-hvdistr2 26497  ax-hvmul0 26498  ax-hfi 26567  ax-his1 26570  ax-his2 26571  ax-his3 26572  ax-his4 26573 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-ablo 25855  df-subgo 25875  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-nmcv 26064  df-hnorm 26456  df-hba 26457  df-hvsub 26459  df-sh 26695 This theorem is referenced by:  hhssablo  26749  hhssnv  26750
 Copyright terms: Public domain W3C validator