Theorem hhssabli 10765

Description: Abelian group property of subspace addition.

Hypothesis

Ref	Expression
hhssabl.1	|- H e. SH

Assertion

Ref	Expression
hhssabli	|- ( +h |` (H X. H)) e. Abel

Proof of Theorem hhssabli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilabl 10660	. . . . . 6 |- +h e. Abel
2		ablgrp 9410	. . . . . 6 |- ( +h e. Abel -> +h e. Grp)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- +h e. Grp
4		eqid 1884	. . . . . . 7 |- <.<. +h , .h >., normh>. = <.<. +h , .h >., normh>.
5	4	hhba 10667	. . . . . 6 |- ~H = (BaseSet` <.<. +h , .h >., normh>.)
6	4	hhva 10666	. . . . . 6 |- +h = (+v` <.<. +h , .h >., normh>.)
7	5, 6	bafval 9555	. . . . 5 |- ~H = ran +h
8	4	hh0v 10668	. . . . . 6 |- 0h = (0v` <.<. +h , .h >., normh>.)
9	6, 8	0vfval 9557	. . . . 5 |- 0h = (Id` +h )
10	4	hhnv 10665	. . . . . 6 |- <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec
11	4	hhsm 10669	. . . . . . 7 |- .h = (.s` <.<. +h , .h >., normh>.)
12		eqid 1884	. . . . . . 7 |- ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. _V))) = ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. _V)))
13	6, 11, 12	invfval 9593	. . . . . 6 |- (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec -> ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. _V))) = (inv` +h ))
14	10, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. _V))) = (inv` +h )
15		hhssabl.1	. . . . . 6 |- H e. SH
16	15	shssii 10714	. . . . 5 |- H C_ ~H
17		eqid 1884	. . . . 5 |- ( +h |` (H X. H)) = ( +h |` (H X. H))
18		shaddcl 10718	. . . . . 6 |- ((H e. SH /\ x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) e. H)
19	15, 18	mp3an1 1178	. . . . 5 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) e. H)
20		sh0 10717	. . . . . 6 |- (H e. SH -> 0h e. H)
21	15, 20	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0h e. H
22		ax-hfvmul 10507	. . . . . . . 8 |- .h :(CC X. ~H)-->~H
23		ffn 4562	. . . . . . . 8 |- ( .h :(CC X. ~H)-->~H -> .h Fn (CC X. ~H))
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- .h Fn (CC X. ~H)
25		ax1cn 6422	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
26	25	negcli 6526	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
27	12	curry1val 5077	. . . . . . 7 |- (( .h Fn (CC X. ~H) /\ -u1 e. CC /\ x e. H) -> (( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. _V)))` x) = (-u1 .h x))
28	24, 26, 27	mp3an12 1181	. . . . . 6 |- (x e. H -> (( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. _V)))` x) = (-u1 .h x))
29		shmulcl 10720	. . . . . . 7 |- ((H e. SH /\ -u1 e. CC /\ x e. H) -> (-u1 .h x) e. H)
30	15, 26, 29	mp3an12 1181	. . . . . 6 |- (x e. H -> (-u1 .h x) e. H)
31	28, 30	eqeltrd 1971	. . . . 5 |- (x e. H -> (( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. _V)))` x) e. H)
32	3, 7, 9, 14, 16, 17, 19, 21, 31	issubgi 9431	. . . 4 |- ( +h |` (H X. H)) e. (SubGrp` +h )
33		issubg 9425	. . . 4 |- (( +h |` (H X. H)) e. (SubGrp` +h ) <-> ( +h e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) C_ +h ))
34	32, 33	mpbi 206	. . 3 |- ( +h e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) C_ +h )
35	34	simp2i 886	. 2 |- ( +h |` (H X. H)) e. Grp
36		xpss12 4089	. . . . 5 |- ((H C_ ~H /\ H C_ ~H) -> (H X. H) C_ (~H X. ~H))
37	16, 16, 36	mp2an 761	. . . 4 |- (H X. H) C_ (~H X. ~H)
38		ax-hfvadd 10502	. . . . 5 |- +h :(~H X. ~H)-->~H
39	38	fdmi 4568	. . . 4 |- dom +h = (~H X. ~H)
40	37, 39	sseqtr4i 2650	. . 3 |- (H X. H) C_ dom +h
41		ssdmres 4235	. . 3 |- ((H X. H) C_ dom +h <-> dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H))
42	40, 41	mpbi 206	. 2 |- dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H)
43		ax-hvcom 10503	. . . 4 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (x +h y) = (y +h x))
44	15	sheli 10715	. . . 4 |- (x e. H -> x e. ~H)
45	15	sheli 10715	. . . 4 |- (y e. H -> y e. ~H)
46	43, 44, 45	syl2an 503	. . 3 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) = (y +h x))
47		oprvres 4963	. . 3 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x( +h |` (H X. H))y) = (x +h y))
48		oprvres 4963	. . . 4 |- ((y e. H /\ x e. H) -> (y( +h |` (H X. H))x) = (y +h x))
49	48	ancoms 484	. . 3 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (y( +h |` (H X. H))x) = (y +h x))
50	46, 47, 49	3eqtr4d 1937	. 2 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x( +h |` (H X. H))y) = (y( +h |` (H X. H))x))
51	35, 42, 50	isabli 9414	1 |- ( +h |` (H X. H)) e. Abel

Syntax hints:   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  {csn 3044  <.cop 3046   X. cxp 3984  `'ccnv 3985  dom cdm 3986   |` cres 3988   o. ccom 3990   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  2ndc2nd 5019  CCcc 6384  1c1 6387  -ucneg 6446  Grpcgr 9311  invcgn 9313  Abelcabl 9407  SubGrpcsubg 9423  NrmCVeccnv 9535  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  0hc0v 10423  normhcno 10426  SHcsh 10429

This theorem is referenced by:  hhssabl 10766  hhssnv 10767

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-subg 9424  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-sh 10709

Copyright terms: Public domain