HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhshsslem1 Structured version   Unicode version

Theorem hhshsslem1 26309
Description: Lemma for hhsssh 26311. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
hhsst.2  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
hhssp3.3  |-  W  e.  ( SubSp `  U )
hhssp3.4  |-  H  C_  ~H
Assertion
Ref Expression
hhshsslem1  |-  H  =  ( BaseSet `  W )

Proof of Theorem hhshsslem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . 4  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
2 eqid 2457 . . . 4  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
31, 2bafval 25623 . . 3  |-  ( BaseSet `  W )  =  ran  ( +v `  W )
4 hhsst.1 . . . . . . 7  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
54hhnv 26208 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
6 hhssp3.3 . . . . . 6  |-  W  e.  ( SubSp `  U )
7 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
87sspnv 25765 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  W  e.  NrmCVec )
95, 6, 8mp2an 672 . . . . 5  |-  W  e.  NrmCVec
102nvgrp 25636 . . . . 5  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( +v `  W )  e.  GrpOp )
11 grporndm 25338 . . . . 5  |-  ( ( +v `  W )  e.  GrpOp  ->  ran  ( +v
`  W )  =  dom  dom  ( +v `  W ) )
129, 10, 11mp2b 10 . . . 4  |-  ran  ( +v `  W )  =  dom  dom  ( +v `  W )
13 hhsst.2 . . . . . . . . . 10  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
1413fveq2i 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  <. <.
(  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
15 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +v
`  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  ( +v `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
1615vafval 25622 . . . . . . . . . 10  |-  ( +v
`  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  ( 1st `  ( 1st `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
)
17 opex 4720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  e.  _V
18 normf 26166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  normh : ~H --> RR
19 ax-hilex 26042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~H  e.  _V
20 fex 6146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normh : ~H --> RR  /\  ~H  e.  _V )  ->  normh  e.  _V )
2118, 19, 20mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  normh  e.  _V
2221resex 5327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normh  |`  H )  e.  _V
2317, 22op1st 6807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.
2423fveq2i 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  ( 1st `  <. <.
(  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
)  =  ( 1st `  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. )
25 hilablo 26203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +h  e.  AbelOp
26 resexg 5326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e.  _V )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  _V
28 hvmulex 26054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .h  e.  _V
2928resex 5327 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  e.  _V
3027, 29op1st 6807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. )  =  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
3124, 30eqtri 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  ( 1st `  <. <.
(  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
)  =  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )
3216, 31eqtri 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( +v
`  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
3314, 32eqtri 2486 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  W )  =  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
3433dmeqi 5214 . . . . . . 7  |-  dom  ( +v `  W )  =  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
35 hhssp3.4 . . . . . . . . . 10  |-  H  C_  ~H
36 xpss12 5117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  C_  ~H  /\  H  C_ 
~H )  ->  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)
3735, 35, 36mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
38 ax-hfvadd 26043 . . . . . . . . . 10  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
3938fdmi 5742 . . . . . . . . 9  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
4037, 39sseqtr4i 3532 . . . . . . . 8  |-  ( H  X.  H )  C_  dom  +h
41 ssdmres 5305 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  X.  H ) 
C_  dom  +h  <->  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( H  X.  H ) )
4240, 41mpbi 208 . . . . . . 7  |-  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  =  ( H  X.  H
)
4334, 42eqtri 2486 . . . . . 6  |-  dom  ( +v `  W )  =  ( H  X.  H
)
4443dmeqi 5214 . . . . 5  |-  dom  dom  ( +v `  W )  =  dom  ( H  X.  H )
45 dmxpid 5232 . . . . 5  |-  dom  ( H  X.  H )  =  H
4644, 45eqtri 2486 . . . 4  |-  dom  dom  ( +v `  W )  =  H
4712, 46eqtri 2486 . . 3  |-  ran  ( +v `  W )  =  H
483, 47eqtri 2486 . 2  |-  ( BaseSet `  W )  =  H
4948eqcomi 2470 1  |-  H  =  ( BaseSet `  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   <.cop 4038    X. cxp 5006   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594   1stc1st 6797   CCcc 9507   RRcr 9508   GrpOpcgr 25314   AbelOpcablo 25409   NrmCVeccnv 25603   +vcpv 25604   BaseSetcba 25605   SubSpcss 25760   ~Hchil 25962    +h cva 25963    .h csm 25964   normhcno 25966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-hilex 26042  ax-hfvadd 26043  ax-hvcom 26044  ax-hvass 26045  ax-hv0cl 26046  ax-hvaddid 26047  ax-hfvmul 26048  ax-hvmulid 26049  ax-hvmulass 26050  ax-hvdistr1 26051  ax-hvdistr2 26052  ax-hvmul0 26053  ax-hfi 26122  ax-his1 26125  ax-his2 26126  ax-his3 26127  ax-his4 26128
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-grpo 25319  df-gid 25320  df-ablo 25410  df-vc 25565  df-nv 25611  df-va 25614  df-ba 25615  df-sm 25616  df-0v 25617  df-nmcv 25619  df-ssp 25761  df-hnorm 26011  df-hvsub 26014
This theorem is referenced by:  hhshsslem2  26310  hhssba  26313
  Copyright terms: Public domain W3C validator