HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhshsslem1 Structured version   Unicode version

Theorem hhshsslem1 26903
Description: Lemma for hhsssh 26905. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
hhsst.2  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
hhssp3.3  |-  W  e.  ( SubSp `  U )
hhssp3.4  |-  H  C_  ~H
Assertion
Ref Expression
hhshsslem1  |-  H  =  ( BaseSet `  W )

Proof of Theorem hhshsslem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . . 4  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
2 eqid 2422 . . . 4  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
31, 2bafval 26208 . . 3  |-  ( BaseSet `  W )  =  ran  ( +v `  W )
4 hhsst.1 . . . . . . 7  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
54hhnv 26803 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
6 hhssp3.3 . . . . . 6  |-  W  e.  ( SubSp `  U )
7 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
87sspnv 26350 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  W  e.  NrmCVec )
95, 6, 8mp2an 676 . . . . 5  |-  W  e.  NrmCVec
102nvgrp 26221 . . . . 5  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( +v `  W )  e.  GrpOp )
11 grporndm 25923 . . . . 5  |-  ( ( +v `  W )  e.  GrpOp  ->  ran  ( +v
`  W )  =  dom  dom  ( +v `  W ) )
129, 10, 11mp2b 10 . . . 4  |-  ran  ( +v `  W )  =  dom  dom  ( +v `  W )
13 hhsst.2 . . . . . . . . . 10  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
1413fveq2i 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  <. <.
(  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
15 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +v
`  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  ( +v `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
1615vafval 26207 . . . . . . . . . 10  |-  ( +v
`  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  ( 1st `  ( 1st `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
)
17 opex 4681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  e.  _V
18 normf 26761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  normh : ~H --> RR
19 ax-hilex 26637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~H  e.  _V
20 fex 6149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normh : ~H --> RR  /\  ~H  e.  _V )  ->  normh  e.  _V )
2118, 19, 20mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  normh  e.  _V
2221resex 5163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normh  |`  H )  e.  _V
2317, 22op1st 6811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.
2423fveq2i 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  ( 1st `  <. <.
(  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
)  =  ( 1st `  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. )
25 hilablo 26798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +h  e.  AbelOp
26 resexg 5162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e.  _V )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  _V
28 hvmulex 26649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .h  e.  _V
2928resex 5163 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  e.  _V
3027, 29op1st 6811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. )  =  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
3124, 30eqtri 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  ( 1st `  <. <.
(  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
)  =  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )
3216, 31eqtri 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( +v
`  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
3314, 32eqtri 2451 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  W )  =  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
3433dmeqi 5051 . . . . . . 7  |-  dom  ( +v `  W )  =  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
35 hhssp3.4 . . . . . . . . . 10  |-  H  C_  ~H
36 xpss12 4955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  C_  ~H  /\  H  C_ 
~H )  ->  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)
3735, 35, 36mp2an 676 . . . . . . . . 9  |-  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
38 ax-hfvadd 26638 . . . . . . . . . 10  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
3938fdmi 5747 . . . . . . . . 9  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
4037, 39sseqtr4i 3497 . . . . . . . 8  |-  ( H  X.  H )  C_  dom  +h
41 ssdmres 5141 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  X.  H ) 
C_  dom  +h  <->  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( H  X.  H ) )
4240, 41mpbi 211 . . . . . . 7  |-  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  =  ( H  X.  H
)
4334, 42eqtri 2451 . . . . . 6  |-  dom  ( +v `  W )  =  ( H  X.  H
)
4443dmeqi 5051 . . . . 5  |-  dom  dom  ( +v `  W )  =  dom  ( H  X.  H )
45 dmxpid 5069 . . . . 5  |-  dom  ( H  X.  H )  =  H
4644, 45eqtri 2451 . . . 4  |-  dom  dom  ( +v `  W )  =  H
4712, 46eqtri 2451 . . 3  |-  ran  ( +v `  W )  =  H
483, 47eqtri 2451 . 2  |-  ( BaseSet `  W )  =  H
4948eqcomi 2435 1  |-  H  =  ( BaseSet `  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   <.cop 4002    X. cxp 4847   dom cdm 4849   ran crn 4850    |` cres 4851   -->wf 5593   ` cfv 5597   1stc1st 6801   CCcc 9537   RRcr 9538   GrpOpcgr 25899   AbelOpcablo 25994   NrmCVeccnv 26188   +vcpv 26189   BaseSetcba 26190   SubSpcss 26345   ~Hchil 26557    +h cva 26558    .h csm 26559   normhcno 26561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-hilex 26637  ax-hfvadd 26638  ax-hvcom 26639  ax-hvass 26640  ax-hv0cl 26641  ax-hvaddid 26642  ax-hfvmul 26643  ax-hvmulid 26644  ax-hvmulass 26645  ax-hvdistr1 26646  ax-hvdistr2 26647  ax-hvmul0 26648  ax-hfi 26717  ax-his1 26720  ax-his2 26721  ax-his3 26722  ax-his4 26723
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-sup 7958  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-grpo 25904  df-gid 25905  df-ablo 25995  df-vc 26150  df-nv 26196  df-va 26199  df-ba 26200  df-sm 26201  df-0v 26202  df-nmcv 26204  df-ssp 26346  df-hnorm 26606  df-hvsub 26609
This theorem is referenced by:  hhshsslem2  26904  hhssba  26907
  Copyright terms: Public domain W3C validator