Theorem hhph 10678

Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space.

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.

Assertion

Ref	Expression
hhph	|- U e. CPreHil

Proof of Theorem hhph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilabl 10660	. . . 4 |- +h e. Abel
2	1	elisseti 2301	. . 3 |- +h e. _V
3		hvmulex 10513	. . 3 |- .h e. _V
4		normf 10622	. . . 4 |- normh:~H-->RR
5		ax-hilex 10501	. . . 4 |- ~H e. _V
6		fex 4595	. . . 4 |- ((normh:~H-->RR /\ ~H e. _V) -> normh e. _V)
7	4, 5, 6	mp2an 761	. . 3 |- normh e. _V
8		ablgrp 9410	. . . . . . 7 |- ( +h e. Abel -> +h e. Grp)
9	1, 8	ax-mp 7	. . . . . 6 |- +h e. Grp
10		ax-hfvadd 10502	. . . . . . 7 |- +h :(~H X. ~H)-->~H
11	10	fdmi 4568	. . . . . 6 |- dom +h = (~H X. ~H)
12	9, 11	grprn 9336	. . . . 5 |- ~H = ran +h
13	12	isphg 9817	. . . 4 |- (( +h e. _V /\ .h e. _V /\ normh e. _V) -> (<.<. +h , .h >., normh>. e. CPreHil <-> (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))))))
14		hhnv.1	. . . . 5 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
15	14	eleq1i 1960	. . . 4 |- (U e. CPreHil <-> <.<. +h , .h >., normh>. e. CPreHil)
16	13, 15	syl5bb 591	. . 3 |- (( +h e. _V /\ .h e. _V /\ normh e. _V) -> (U e. CPreHil <-> (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))))))
17	2, 3, 7, 16	mp3an 1191	. 2 |- (U e. CPreHil <-> (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2)))))
18		eqid 1884	. . 3 |- <.<. +h , .h >., normh>. = <.<. +h , .h >., normh>.
19	18	hhnv 10665	. 2 |- <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec
20		normpar 10655	. . . 4 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
21		hvsubval 10518	. . . . . . . 8 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
22	21	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (normh` (x -h y)) = (normh` (x +h (-u1 .h y))))
23	22	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> ((normh` (x -h y))^2) = ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2))
24	23	opreq2d 4898	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x -h y))^2)) = (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)))
25		hvaddcl 10514	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (x +h y) e. ~H)
26		normcl 10624	. . . . . . . . 9 |- ((x +h y) e. ~H -> (normh` (x +h y)) e. RR)
27	25, 26	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (normh` (x +h y)) e. RR)
28	27	recnd 6468	. . . . . . 7 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (normh` (x +h y)) e. CC)
29		sqcl 7856	. . . . . . 7 |- ((normh` (x +h y)) e. CC -> ((normh` (x +h y))^2) e. CC)
30	28, 29	syl 12	. . . . . 6 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> ((normh` (x +h y))^2) e. CC)
31		hvsubcl 10519	. . . . . . 7 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (x -h y) e. ~H)
32		normcl 10624	. . . . . . . 8 |- ((x -h y) e. ~H -> (normh` (x -h y)) e. RR)
33	32	recnd 6468	. . . . . . 7 |- ((x -h y) e. ~H -> (normh` (x -h y)) e. CC)
34		sqcl 7856	. . . . . . 7 |- ((normh` (x -h y)) e. CC -> ((normh` (x -h y))^2) e. CC)
35	31, 33, 34	3syl 24	. . . . . 6 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> ((normh` (x -h y))^2) e. CC)
36		addcom 6458	. . . . . 6 |- ((((normh` (x +h y))^2) e. CC /\ ((normh` (x -h y))^2) e. CC) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x -h y))^2)) = (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)))
37	30, 35, 36	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x -h y))^2)) = (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)))
38	24, 37	eqtr3d 1927	. . . 4 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)))
39		2cn 7164	. . . . . 6 |- 2 e. CC
40		adddi 6462	. . . . . 6 |- ((2 e. CC /\ ((normh` x)^2) e. CC /\ ((normh` y)^2) e. CC) -> (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
41	39, 40	mp3an1 1178	. . . . 5 |- ((((normh` x)^2) e. CC /\ ((normh` y)^2) e. CC) -> (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
42		normcl 10624	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (normh` x) e. RR)
43	42	recnd 6468	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> (normh` x) e. CC)
44		sqcl 7856	. . . . . 6 |- ((normh` x) e. CC -> ((normh` x)^2) e. CC)
45	43, 44	syl 12	. . . . 5 |- (x e. ~H -> ((normh` x)^2) e. CC)
46		normcl 10624	. . . . . . 7 |- (y e. ~H -> (normh` y) e. RR)
47	46	recnd 6468	. . . . . 6 |- (y e. ~H -> (normh` y) e. CC)
48		sqcl 7856	. . . . . 6 |- ((normh` y) e. CC -> ((normh` y)^2) e. CC)
49	47, 48	syl 12	. . . . 5 |- (y e. ~H -> ((normh` y)^2) e. CC)
50	41, 45, 49	syl2an 503	. . . 4 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
51	20, 38, 50	3eqtr4d 1937	. . 3 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))))
52	51	rgen2a 2160	. 2 |- A.x e. ~H A.y e. ~H (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2)))
53	17, 19, 52	mpbir2an 800	1 |- U e. CPreHil

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  <.cop 3046   X. cxp 3984  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391  -ucneg 6446  2c2 7145  ^cexp 7811  Grpcgr 9311  Abelcabl 9407  NrmCVeccnv 9535  CPreHilcphl 9812  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422   -h cmv 10424  normhcno 10426

This theorem is referenced by:  bcsiHIL 10680  hhhl 10706  hhssph 10777  projlemHIL 10851

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472

Copyright terms: Public domain