Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhph Structured version   Unicode version

Theorem hhph 26817
 Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1
Assertion
Ref Expression
hhph

Proof of Theorem hhph
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . 3
21hhnv 26804 . 2
3 normpar 26794 . . . 4
4 hvsubval 26655 . . . . . . . 8
54fveq2d 5882 . . . . . . 7
65oveq1d 6317 . . . . . 6
76oveq2d 6318 . . . . 5
8 hvaddcl 26651 . . . . . . . . 9
9 normcl 26764 . . . . . . . . 9
108, 9syl 17 . . . . . . . 8
1110recnd 9670 . . . . . . 7
1211sqcld 12414 . . . . . 6
13 hvsubcl 26656 . . . . . . . 8
14 normcl 26764 . . . . . . . . 9
1514recnd 9670 . . . . . . . 8
1613, 15syl 17 . . . . . . 7
1716sqcld 12414 . . . . . 6
1812, 17addcomd 9836 . . . . 5
197, 18eqtr3d 2465 . . . 4
20 normcl 26764 . . . . . . 7
2120recnd 9670 . . . . . 6
2221sqcld 12414 . . . . 5
23 normcl 26764 . . . . . . 7
2423recnd 9670 . . . . . 6
2524sqcld 12414 . . . . 5
26 2cn 10681 . . . . . 6
27 adddi 9629 . . . . . 6
2826, 27mp3an1 1347 . . . . 5
2922, 25, 28syl2an 479 . . . 4
303, 19, 293eqtr4d 2473 . . 3
3130rgen2a 2852 . 2
32 hilablo 26799 . . . 4
3332elexi 3091 . . 3
34 hvmulex 26650 . . 3
35 normf 26762 . . . 4
36 ax-hilex 26638 . . . 4
37 fex 6150 . . . 4
3835, 36, 37mp2an 676 . . 3
39 hhnv.1 . . . . 5
4039eleq1i 2499 . . . 4
41 ablogrpo 25998 . . . . . . 7
4232, 41ax-mp 5 . . . . . 6
43 ax-hfvadd 26639 . . . . . . 7
4443fdmi 5748 . . . . . 6
4542, 44grporn 25926 . . . . 5
4645isphg 26444 . . . 4
4740, 46syl5bb 260 . . 3
4833, 34, 38, 47mp3an 1360 . 2
492, 31, 48mpbir2an 928 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868  wral 2775  cvv 3081  cop 4002   cxp 4848  wf 5594  cfv 5598  (class class class)co 6302  cc 9538  cr 9539  c1 9541   caddc 9543   cmul 9545  cneg 9862  c2 10660  cexp 12272  cgr 25900  cablo 25995  cnv 26189  ccphlo 26439  chil 26558   cva 26559   csm 26560  cno 26562   cmv 26564 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-hilex 26638  ax-hfvadd 26639  ax-hvcom 26640  ax-hvass 26641  ax-hv0cl 26642  ax-hvaddid 26643  ax-hfvmul 26644  ax-hvmulid 26645  ax-hvmulass 26646  ax-hvdistr1 26647  ax-hvdistr2 26648  ax-hvmul0 26649  ax-hfi 26718  ax-his1 26721  ax-his2 26722  ax-his3 26723  ax-his4 26724 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7959  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-grpo 25905  df-gid 25906  df-ablo 25996  df-vc 26151  df-nv 26197  df-ph 26440  df-hnorm 26607  df-hvsub 26610 This theorem is referenced by:  bcsiHIL  26819  hhhl  26843  hhssph  26911  pjhthlem2  27031
 Copyright terms: Public domain W3C validator