HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhnv Structured version   Unicode version

Theorem hhnv 24582
Description: Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
Assertion
Ref Expression
hhnv  |-  U  e.  NrmCVec

Proof of Theorem hhnv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 24577 . . . 4  |-  +h  e.  AbelOp
2 ablogrpo 23786 . . . 4  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  +h  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  +h  e.  GrpOp
4 ax-hfvadd 24417 . . . 4  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
54fdmi 5579 . . 3  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
63, 5grporn 23714 . 2  |-  ~H  =  ran  +h
7 hilid 24578 . . 3  |-  (GId `  +h  )  =  0h
87eqcomi 2447 . 2  |-  0h  =  (GId `  +h  )
9 hilvc 24579 . 2  |-  <.  +h  ,  .h  >.  e.  CVecOLD
10 normf 24540 . 2  |-  normh : ~H --> RR
11 norm-i 24546 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
1211biimpa 484 . 2  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  =  0 )  ->  x  =  0h )
13 norm-iii 24557 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( y  .h  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
14 norm-ii 24555 . 2  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  <_ 
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
15 hhnv.1 . 2  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
166, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15isnvi 24006 1  |-  U  e.  NrmCVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756   <.cop 3898    X. cxp 4853   ` cfv 5433   0cc0 9297   GrpOpcgr 23688  GIdcgi 23689   AbelOpcablo 23783   NrmCVeccnv 23977   ~Hchil 24336    +h cva 24337    .h csm 24338   normhcno 24340   0hc0v 24341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375  ax-hilex 24416  ax-hfvadd 24417  ax-hvcom 24418  ax-hvass 24419  ax-hv0cl 24420  ax-hvaddid 24421  ax-hfvmul 24422  ax-hvmulid 24423  ax-hvmulass 24424  ax-hvdistr1 24425  ax-hvdistr2 24426  ax-hvmul0 24427  ax-hfi 24496  ax-his1 24499  ax-his2 24500  ax-his3 24501  ax-his4 24502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-sup 7706  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-rp 11007  df-seq 11822  df-exp 11881  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-grpo 23693  df-gid 23694  df-ablo 23784  df-vc 23939  df-nv 23985  df-hnorm 24385  df-hvsub 24388
This theorem is referenced by:  hhva  24583  hh0v  24585  hhsm  24586  hhvs  24587  hhnm  24588  hhims  24589  hhmet  24591  hhmetdval  24593  hhip  24594  hhph  24595  hlimadd  24610  hhcau  24615  hhlm  24616  hhhl  24621  hhssabloi  24678  hhsst  24682  hhshsslem1  24683  hhshsslem2  24684  hhsssh  24685  hhsssh2  24686  hhssvs  24688  occllem  24721  nmopsetretHIL  25283  hhlnoi  25319  hhnmoi  25320  hhbloi  25321  hh0oi  25322  nmopub2tHIL  25329  nmlnop0iHIL  25415  hmopidmchi  25570
  Copyright terms: Public domain W3C validator