HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhnv Structured version   Unicode version

Theorem hhnv 26496
Description: Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
Assertion
Ref Expression
hhnv  |-  U  e.  NrmCVec

Proof of Theorem hhnv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 26491 . . . 4  |-  +h  e.  AbelOp
2 ablogrpo 25700 . . . 4  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  +h  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  +h  e.  GrpOp
4 ax-hfvadd 26331 . . . 4  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
54fdmi 5719 . . 3  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
63, 5grporn 25628 . 2  |-  ~H  =  ran  +h
7 hilid 26492 . . 3  |-  (GId `  +h  )  =  0h
87eqcomi 2415 . 2  |-  0h  =  (GId `  +h  )
9 hilvc 26493 . 2  |-  <.  +h  ,  .h  >.  e.  CVecOLD
10 normf 26454 . 2  |-  normh : ~H --> RR
11 norm-i 26460 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
1211biimpa 482 . 2  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  =  0 )  ->  x  =  0h )
13 norm-iii 26471 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( y  .h  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
14 norm-ii 26469 . 2  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  <_ 
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
15 hhnv.1 . 2  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
166, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15isnvi 25920 1  |-  U  e.  NrmCVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842   <.cop 3978    X. cxp 4821   ` cfv 5569   0cc0 9522   GrpOpcgr 25602  GIdcgi 25603   AbelOpcablo 25697   NrmCVeccnv 25891   ~Hchil 26250    +h cva 26251    .h csm 26252   normhcno 26254   0hc0v 26255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-hilex 26330  ax-hfvadd 26331  ax-hvcom 26332  ax-hvass 26333  ax-hv0cl 26334  ax-hvaddid 26335  ax-hfvmul 26336  ax-hvmulid 26337  ax-hvmulass 26338  ax-hvdistr1 26339  ax-hvdistr2 26340  ax-hvmul0 26341  ax-hfi 26410  ax-his1 26413  ax-his2 26414  ax-his3 26415  ax-his4 26416
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-grpo 25607  df-gid 25608  df-ablo 25698  df-vc 25853  df-nv 25899  df-hnorm 26299  df-hvsub 26302
This theorem is referenced by:  hhva  26497  hh0v  26499  hhsm  26500  hhvs  26501  hhnm  26502  hhims  26503  hhmet  26505  hhmetdval  26507  hhip  26508  hhph  26509  hlimadd  26524  hhcau  26529  hhlm  26530  hhhl  26535  hhssabloi  26592  hhsst  26596  hhshsslem1  26597  hhshsslem2  26598  hhsssh  26599  hhsssh2  26600  hhssvs  26602  occllem  26635  nmopsetretHIL  27196  hhlnoi  27232  hhnmoi  27233  hhbloi  27234  hh0oi  27235  nmopub2tHIL  27242  nmlnop0iHIL  27328  hmopidmchi  27483
  Copyright terms: Public domain W3C validator