HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhnmoi Structured version   Unicode version

Theorem hhnmoi 27114
Description: The norm of an operator in Hilbert space. (Contributed by NM, 19-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhnmo.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
hhnmo.2  |-  N  =  ( U normOpOLD U
)
Assertion
Ref Expression
hhnmoi  |-  normop  =  N

Proof of Theorem hhnmoi
Dummy variables  x  t  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nmop 27052 . 2  |-  normop  =  ( t  e.  ( ~H 
^m  ~H )  |->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( t `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
2 hhnmo.1 . . . 4  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
32hhnv 26377 . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
42hhba 26379 . . . 4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
52hhnm 26383 . . . 4  |-  normh  =  (
normCV
`  U )
6 hhnmo.2 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD U
)
74, 4, 5, 5, 6nmoofval 25972 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  U  e.  NrmCVec )  ->  N  =  ( t  e.  ( ~H  ^m  ~H )  |->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( t `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
) )
83, 3, 7mp2an 670 . 2  |-  N  =  ( t  e.  ( ~H  ^m  ~H )  |->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( t `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
91, 8eqtr4i 2432 1  |-  normop  =  N
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   {cab 2385   E.wrex 2752   <.cop 3975   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ` cfv 5523  (class class class)co 6232    ^m cmap 7375   supcsup 7852   1c1 9441   RR*cxr 9575    < clt 9576    <_ cle 9577   NrmCVeccnv 25772   normOpOLDcnmoo 25951   ~Hchil 26131    +h cva 26132    .h csm 26133   normhcno 26135   normopcnop 26157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-hilex 26211  ax-hfvadd 26212  ax-hvcom 26213  ax-hvass 26214  ax-hv0cl 26215  ax-hvaddid 26216  ax-hfvmul 26217  ax-hvmulid 26218  ax-hvmulass 26219  ax-hvdistr1 26220  ax-hvdistr2 26221  ax-hvmul0 26222  ax-hfi 26291  ax-his1 26294  ax-his2 26295  ax-his3 26296  ax-his4 26297
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-seq 12060  df-exp 12119  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-grpo 25488  df-gid 25489  df-ablo 25579  df-vc 25734  df-nv 25780  df-va 25783  df-ba 25784  df-nmcv 25788  df-nmoo 25955  df-hnorm 26180  df-hvsub 26183  df-nmop 27052
This theorem is referenced by:  hhbloi  27115  nmopub2tHIL  27123  nmlnop0iHIL  27209
  Copyright terms: Public domain W3C validator